罗斯—霍尔维茨判据

罗斯—霍尔维茨判据

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前言

当我们设计出一个信号处理系统后，我们需要对它进行稳定性的判断，什么是系统的稳定性呢？通俗点来说就是我们对系统输入一个信号，一段时间后停止输入信号后，系统的输出信号也会停止，如果还有信号输出，那么这个系统就是一个不稳定的系统。当然我们也有传统的方法去判断，那就是对系统的冲击响应函数的绝对值进行积分，如果积分为一个常数(也就是小于∞)，就说明这是一个线性系统，但如果这是一个二阶或者更高阶的系统呢？那这个分析方法将变得非常复杂，显然这不是一个好的方法。于是，我们就用拉普拉斯变换把系统从时域变换到频域进行分析，怎么分析呢？这就是我们今天的主题：罗斯—霍尔维茨判据。（以上说法是基于这是一个线性时不变系统）

问题引入

如图所示，我们把这个电路看成一个系统，Us(s)为系统输入 ，Y（s）为输出，对a点列节点方程：(1/(sL+R_1 )+ sC+1/R_3 )Y_s=(U_S (s))/(sL+R_1 )(我们假设这是一个零状态响应系统)
令
N（s）=1/（sL+R_1）
D(s)=1/(sL+R_1)+sC+1/R_3
为了统一符号，我们把U_s(S)写成F（s）
于是Y(s)=N（s）/D（s）×F（s）
这就是系统方程,如果我们要判断这个系统是否稳定，就判断D（s）是否为零，因为如果D（s）=0，那么Y（s）将趋于无穷大

系统特征方程

我们把D(s）称为系统的特征方程，因为它决定了系统的极点。

令D（s）=0，就形成了闭环

罗斯阵列表

如图，规律已经画到图上了，大家可以根据规律来记忆。

罗斯判据

系统稳定的充分必要条件
1、系统闭环特征方程各项系数均为正，也就是a(0),a(1),a(2)…全部为正。
2、系统的罗斯阵列表的第一列各元素均为正。

罗斯阵列表第一列元素有负数

此时，罗斯阵列表第一列元素改变的次数就等于特征方程实部为正的实根的个数，也就是系统函数（H(s)=N(s)/D(s)）在虚轴右边的极点个数。
例：

如表，第一列元素改变了三次，那么特征方程实部为正的实根个数为三个。

罗斯阵列表中第一列元素出现零但不全为零

当出现这种情况时，说明特征方程具有负实数根或者纯虚数根（系统函数具有在虚轴上的极点）此时系统不稳定或者临界稳定。

判断系统不稳定还是临界稳定：
可以用一个正数ε来代替零，令ε趋近于零，然后继续构造
运用求极限的方法，对这些元素进行符号判定，如果没有负号，则系统临界稳定
如果有负号，则系统不稳定。
如：设系统特征方程为：s^3-2s+1=0，判断系统稳定性。
罗斯表：

罗斯表中某一行元素全为零

出现这种情况，说明存在着等值反号的实根或者对称的共轭复数根，系统是不稳定或者临界稳定的（根的实部为零）。
例如：s^2-1=0
其罗斯表第二行全为零，有两个根：1和-1，为等值反号。
判断系统是临界稳定还是不稳定的方法：将全零行的上一行系数和相应阶次构造成多项式，然后对其进行微分，将系数填入全零行。
如例子：X(s)=s^2-1,微分得的d(X(s))/d(s)=2s,将2填入第二行，再进行判断。

总结

拉普拉斯变换和傅里叶变换存在的意义就是使得信号分析变得更加容易，在时域里面的积分在频域里面就是除自变量；在时域里面微分在频域里就是乘自变量；在时域里卷积，在频域里就是相乘。
罗斯—霍尔维茨判据就是在频域里进行系统的稳定性判断的方法，它要比在时域里判断的方法简单得多（当然，是相对的，它更加适合处理高阶微分的系统）这个方法也运用了很多常见的数学方法和思想，比如极限思想和行列式。