线性代数——(1)向量

向量

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R^2中的向量

第一个数代表沿着X轴的方向正数代表向右移动，负数代表向左移动，第二个数代表沿着Y轴方向，正数代表向上移动；负数代表向下移动。为了把向量和点区分开，通常的写法数字竖着写，然后用方括号括起来。

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R^3中的向量

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向量的长度

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向量的加法

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常数2+5的加法运算等于在数轴上向右移动2步，然后在向右移动5步。整体效果和向右移动7步是一样的。
第一个向量的坐标是（1，2）第二个坐标是（3，-1）

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向量的加法运算可以看做是从一个原点出发，到第二个向量重点的四步运动。向右1步，向上2步，向右3步，最后向下1步。

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向量的数乘

向量与标量的相乘就是将向量中的每个分量与标量相乘。

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单位向量

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向量组

若干同维数的列向量（或者同维数的行向量）所组成的集合，叫做向量组。

线性组合

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向量实际上就是两个经过缩放的向量的和

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两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合

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如何体现线性这个特点

固定其中一个标量，让另外一个标量自由变化，所产生的向量的终点就会描成一条直线。

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如果让两个标量同时自由变化，考虑所有可能得到的向量。大部门情况下，对于一对初始化的向量，能到达平面中的每一个点，所有二维向量都可以表示出来。

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当两个初始化向量恰好共线时，所产生的向量的终点被限制在一条过原点的直线上。

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两个向量都是零向量。只能在坐标原点上。

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线性相关

一个向量能被某向量组线性表示，则由它们组成的向量组也被称为线性相关的。

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向量空间

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张成空间

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二维向量它们张成的空间是所有的二维向量的集合。但是共线的时，它们张成空间终点落在一条直线上的向量的集合。

最大线性无关组

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基

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基不是唯一的

对于向量空间而言，基一般都有多个，我们完全可以选择不同的基向量，获得一个合理的新坐标系

自然基

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秩

基是向量空间的最大线性无关组，则基中向量个数就是向量空间的秩。但是向量空间的秩，我们一般叫作维度。

点积 Dot product

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点积的几何意义

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当两个向量互相垂直的时，意味着一个向量在另一个向量上的投影为零向量。它们的点积为0

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当它们的指向基本相反时。点积为负数

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