最小树形图的理解与证明

判断是否存在树形图的方法很简单，只需要以v为根作一次图的遍历就可以了，所以下面的算法中不再考虑树形图不存在的情况。
在所有操作开始之前，我们需要把图中所有的自环全都清除。很明显，自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进行了这步操作，总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。

首先为除根之外的每个点选定一条入边，这条入边一定要是所有入边中最小的。现在所有的最小入边都选择出来了，如果这个入边集不存在有向环的话，我们可以证明这个集合就是该图的最小树形图。这个证明并不是很难。如果存在有向环的话，我们就要将这个有向环缩成一个人工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中连接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。为什么入边的权要减去in[u]，这个后面会解释，在这里先给出算法的步骤。然后可以证明，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。
上面结论也不做证明了。现在依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w'(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了.

复杂度分析:
如果实现得很聪明的话，可以达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，然后最多会收缩几次呢？由于我们一开始已经拿掉了所有的自环，我门可以知道每个环至少包含2个点，收缩成1个点之后，总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不用求了。所以我们最多只会进行V-1次的收缩，所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见，如果一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。