那些年哲学家给数学家挖过的坑（一）

    西方哲学的起源可以追溯到泰勒斯(Thales,公元前625-前547)，因为他说过一句很牛逼的话，万物源于水(“水生万物，万物复归于水”)。因为在那么遥远的古代还没有像现代社会这么复杂的分科治学，所以那时候最具智慧的人几乎通晓当时已知的全部人类知识，他们自然也不能按现在的名词称之为哲学家或数学家、科学家之类的，本质上他们相当于所有这些“xx家”的总和。泰勒斯也仅仅是因为在哲学上的影响更显著更为人所知，所以后来就称其为哲学家罢了。比如王羲之文学造诣也是极高的，但是由于他在书法艺术上的光辉太过耀眼，所以其他学问就被这光辉自然地掩盖了，所以人们只知道书法家王羲之，自动忽略了其他才华。“夫人之相与，俯仰一世，或取诸怀抱，晤言一室之内，或因寄所托，放浪形骸之外……”，能够即兴写出这样的句子，足见其文才了得，所以兰亭集序是书文双绝。

    泰翁也一样不只是在哲学上有影响力，他曾经提出不少数学定理(如泰勒斯定理“半圆上的圆周角必为直角”)，运用他的数学方法测量金字塔的高度，准确预言公元前585年的那次日食，甚至修订历法等。他也曾做过商人，但却并不上心，搞得很贫穷，当时的人们甚至因此而嘲笑他的哲学无用。有一次，泰勒斯根据自己的哲学预测到雅典当年的橄榄将会大丰收，于是提前租下了当地所有的榨橄榄机，垄断价格，后来很容易就赚了一大笔巨款。完了轻轻来一句“哲学家要赚钱很容易，只不过是还有很多比赚钱更重要的事值得做而已”。泰勒斯的这种用数学描述世界的哲学方法在毕达哥拉斯(Pythagoras)那里达到了一个高峰，毕达哥拉斯甚至赋予了数学某种神秘的力量，跟他本身所具有的某种神秘气质浑然一体。

    毕达哥拉斯认为“万物的本源是数”，事物的性质由某种数的关系决定，一切数都可表示成整数或整数之比。由于他的智慧在当时所达到的高度远远超越普通民众（当时就证明了勾股定理），巨大的威望使之俨然成为一名“教主”，他的话也被奉为教条般不可质疑。后来他的追随者形成了一个很有影响力的“毕达哥拉斯学派”，可是这时候学派内部出现了一个叫做希帕索斯（Hippasus）的学生，本来也是毕达哥拉斯的得意门生。他发现边长为1的正方形其对角线的长度是一个“不确定的数”，而且无论测量的尺子做得多么精确始终会得到一个“不确定的数”。 根据老师毕达哥拉斯的勾股定理甚至可以准确地证明这个数必定不能表述成整数的比（证明方法如下：等腰直角三角形的两个直角边为1，根据已知的毕达哥拉斯勾股定理，斜边的平方必定等于直角边平方的2倍，假设斜边长可以表示为一个整数比A/B,那么A平方/B平方=2，如果A和B有公约数就可以通过约分消去，则化为最简式后A和B二者之间必定至少有一个数为奇数，但现在A平方=2倍B平方，所以A平方必定为偶数，所以A也必定为偶数，所以B为奇数。现在假设偶数A=2k,那么4k平方=2B平方,必有B平方=2k平方,由此可见B也是一个偶数，这显然与题设矛盾，由此可以反证出，斜边表述为整数比A/B必然是不合理的）。

    这个“不确定的数”无法用任何整数的比来表示，这明显违反了“一切数都可表示成整数或整数之比”的信条，且与当时的本体哲学原子论相抵触。原子论认为万物由不可再分的原子构成，那么有形物体的长度必然是由有限个原子堆积而成，所以也必定是一个确定的可以表示为整数或整数比的“确定的数”。天真的希帕索斯发现这一秘密后随意地谈起这个发现，毕达哥拉斯学派又无法解释这个明显的悖论，于是愤怒的人们竟然把希帕索斯视为异端扔到海里喂鱼了，并增设了一条新的信条：禁止任何人再提起这个秘密。因为这个令人费解的事实在当时简直就是对整个世界秩序的全盘否定。当初看到这一出，我也真是心中一万头神兽呼啸而过啊！当出现了现有学说无法解释的现象，他们的选择是隐瞒这个现象来继续保持本学派的权威（这跟我们现代社会的某些作法很类似）。可怜的希帕索斯也就这样为无理数的发现而殉了葬。在无理数的概念发现之前，人们难以想象还会存在一个无法用整数比来表述的数。圆周率也曾经是一个困扰古人的千古难题，东方的印度人马德哈瓦(Madhava)曾经提出一个著名的由整数比构成的表达式来表述圆周率，运用今天数学的极限思想，这个表达式的值就是圆周率: 4(1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + …),圆周率是一个大于3而小于4的数值，他的思路就是在数轴上首先从0往右走到4，然后往后退1/3，这样由于又退多了超过Pi的那个点，所以又前进1/5，再又后退1/7，如此一直走完所有的奇数分之一的路程，最后到达的点就是Pi. 在无理数的概念尚未被人们理解和接受之前，这已算是最为高明的处理方法了。因为此公式一出，之前世界各地人们展开的一场关于计算圆周率精确数值的竞赛将变得彻底无意义，只要你愿意演算，根据此公式任何人都可以将圆周率精确到小数点后任何一位。

    希帕索斯发现的这个秘密(无理数，根号2)后来就成为了所谓“数学史上的三次危机”中的第一次，并且带来了随后的数学发展巨大飞跃（注：所谓数学史上的三次危机的提法目前仅见于通俗科普读物尤其是中文和前苏联俄文刊物，尚未见诸于英语主流学术界，也曾有人考证是由于当年受意识形态影响，数学史要在列宁“对立统一，矛盾转化”的指导思想下修史而提出的说法，后被一直沿用。但此说目前尚无法确证）。但是这个问题的彻底解决，却是直到十九世纪后期建立了实数理论才终于完成。