0-1背包问题 Python 动态规划

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基于动态规划算法的 $0-1$ 背包问题设计过程与实现

1. 算法设计

1. 获取对应信息（商品数量，背包容积，各商品的体积和价值）
2. 构造最优值矩阵
   1. 初始化最优值矩阵（上方和左侧留有一列空白矩阵用作后续运算，但不做结果使用）
   2. 根据商品之间的最优值公式计算得出相应的结果
3. 通过逆向推导矩阵得到某件商品装了或是没有装
4. 输出结果

1.1 构造最优值矩阵

# 计算最优值矩阵
dp = [[0 for i in range(v+1)] for j in range(n+1)]  # 初始化最优值矩阵
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, v+1):
        dp[i][j] = dp[i-1][j]  # 默认不装，即和上一项最优值相等
        if j >= goods[i-1][0]:
            # 如果背包剩余空间充足
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j-goods[i-1][0]] +
                           goods[i-1][1])  # 对比装与不装的价值并选择较大值

1.2 计算最优解

# 计算最优解
x = [0 for i in range(n+1)]  # 初始化物品状态，0：不装，1：装
for i in range(n, 0, -1):
    if dp[i][v] == dp[i-1][v]:  # 判断最优值是否发生变化，如果没有变化，则说明没有装
        x[i] = 0  # 不装
    else:  # 如果有变化，则说明装了，并减去对应重量
        x[i] = 1  # 装
        v -= goods[i-1][0]  # 减去对应重量
    x[n] = 1 if dp[n][v] != 0 else 0  # 判断最后一个物品装不装

2. 算法实现-完整代码

print('请输入待装物品数量和背包体积(空格隔开):')
n, v = map(int, input().split())  # 获取物品数量和背包体积
goods = []  # 初始化商品列表
for i in range(n):
    print(f'请输入第{i + 1}个物品的重量和价值(空格隔开):')
    goods.append(list(map(int, input().split())))  # 获取商品信息

# 计算最优值矩阵
dp = [[0 for i in range(v + 1)] for j in range(n + 1)]  # 初始化最优值矩阵
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, v + 1):
        dp[i][j] = dp[i - 1][j]  # 默认不装，即和上一项最优值相等
        if j >= goods[i - 1][0]:
            # 如果背包剩余空间充足
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - goods[i - 1][0]] +
                           goods[i - 1][1])  # 对比装与不装的价值并选择较大值

"""
# 输出最优值矩阵
for i in dp:
    print(i)
"""

# 计算最优解
x = [0 for i in range(n + 1)]  # 初始化物品状态，0：不装，1：装
for i in range(n, 0, -1):
    if dp[i][v] == dp[i - 1][v]:  # 判断最优值是否发生变化，如果没有变化，则说明没有装
        x[i] = 0  # 不装
    else:  # 如果有变化，则说明装了，并减去对应重量
        x[i] = 1  # 装
        v -= goods[i - 1][0]  # 减去对应重量
    x[n] = 1 if dp[n][v] != 0 else 0  # 判断最后一个物品装不装

# 输出最优解
print('背包应装物品为：')
for i in range(1, n + 1):
    print(f'编号：{str(i)}\t重量：{goods[i - 1][0]}\t价值：{goods[i - 1][1]}\n' if x[i] == 1 else '', end='')
# 输出最优值
print('最大物品价值:', dp[-1][-1])

3. 程序测试

输入值

请输入待装物品数量和背包体积(空格隔开):
5 10
请输入第1个物品的重量和价值(空格隔开):
2 6
请输入第2个物品的重量和价值(空格隔开):
2 3
请输入第3个物品的重量和价值(空格隔开):
6 5
请输入第4个物品的重量和价值(空格隔开):
5 4
请输入第5个物品的重量和价值(空格隔开):
4 6

输出值

背包应装物品为：
编号：1	重量：2	价值：6
编号：2	重量：2	价值：3
编号：5	重量：4	价值：6
最大物品价值: 15

测试结果

程序运行正确且运行结果符合预期。