2019-2020-2 大学物理Ⅱ 答案+解题过程自用

2019-2020-2 大学物理Ⅱ

答案+解题过程自用
渲染LateX不易，如果觉得有帮助的话麻烦点个赞吧/(ㄒoㄒ)/~~

一、填空

1、电场中电势的定义式：$U_p=\frac{{\epsilon }_p}{q_0}={\int }_p^{+\infty }Edl$，描述：电荷在电场中某点的电势能与它的电量的比值，在量值上等于单位正电荷放在该点时的电势能

2、点电荷电场强度分布表达式：$E=\frac{F}{q_0}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}{e}_r$，国际单位：$V/m$

3、点电荷的电势分布表达式：$U_p=\frac{{\epsilon }_p}{q_0}={\int }_p^{+\infty }Edl={\int }_r^{+\infty }Edr=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_r^{+\infty }\frac{1}{r^2}dr=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$

单位：$V$(伏特)

4、静电场中电场强度的定义：单位正电荷在该点所受的电场力的大小，其方向与正电荷在该点处所受电场力的方向一致，表达式为$E=\frac{F}{q_0}$，单位：$V/m$

5、处于静电平衡的导体是等势体，导体表面是等势面，导体内部场强处处为零，导体外表面场强垂直于导体表面

6、在各向同性均匀的线性电介质中，$D={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}E=\epsilon E$，其中$D$叫做电位移矢量，${\epsilon }_r$是介质的相对电容率，$\epsilon$是介质的绝对电容率

7、在各向同性均匀的线性磁介质中，磁场强度矢量与磁感应强度矢量的关系式为$B={\mu }_0{\mu }_{r}H=\mu H$，磁介质的相对磁导率${\mu }_r$

8、电容器电容的定义式：$C=\frac{Q}{V}$，平行板电容器的电容表达式：$C=\frac{Q}{V}=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}=\frac{\epsilon S}{d}$

9、自感线圈的磁链数与其电流强度的表达式：${\psi }_m=LI$，其中$L$为该线圈的自感系数

10、电容器的储能与其电容及所带电量的关系为$W_e=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$，有电介质时电场的能量密度$W_e=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2$

11、自感线圈中的能量与其载有的电流及其自感系数的表达式为$W_m=\frac{1}{2}L{I}^2$，有磁介质时磁场的能量密度表达式为$W_m=\frac{1}{2}{\mu }_0{\mu }_r{H}^2=\frac{1}{2}\mu H^2=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu }$

12、运动电荷所受的洛伦兹力矢量表达式$F=qV\times B$，电流元所受的安培力表达式$dF=nSdlqV\times B=Idl\times B$

13、安培定律描述电流元所受磁场力，其表达式（见12题），其中$I=qnsv$，$n$是自由电荷的数密度，$v$是自由电荷的平均速率

14、感应电动势分动生电动势和感生电动势，动生电动势主要是由于闭合回路面与磁场的夹角或面积改变，使回路面积的磁通量改变引起的，感生电动势主要是由于磁场大小随时间改变，使回路面积的磁通量改变引起的

15、理想气体状态方程$PV=\frac{M}{\mu }RT$，其压强$P$等于$nm\overline{v_x^2}$,若分子的运动的平均平动动能为$\epsilon$，则理想气体压强$P=\frac{2}{3}n\epsilon$，也可写为$P=nKT$

16、能量均分定理指在温度为$T$的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，且等于$\frac{1}{2}kT$，质量为$M$的某单原子分子理想气体的总动能为$\frac{M}{\mu }\frac{3}{2}RT$，1$mol$某双原子分子理想气体的总动能为$\frac{5}{2}RT$。质量为$M$的某种理想气体热力学能为$\frac{M}{\mu }\frac{i}{2}RT$，$i$为该理想气体分子的自由度

17、热力学第一定律的微分表达式是$dQ=dU+dW$

卡诺循环效率的表达式为$\eta =1-\frac{T_2}{T_1}$

18、静电场的环路定理：${\oint }_l^{}E\cdot dl=0$

稳恒磁场的安培环路定理${\oint }_l^{}B\cdot dl={\mu }_0{\sum }_{i=1}^N{I}_i$

三、简答题（定律或定理及表达式）

1、毕奥—萨法尔定律：

任一电流微元$Idl$在真空中任一点$P$处产生的磁感应强度$dB$的大小与电流微元的大小$Idl$成正比，与电流微元到$P$点的矢径$r$之间的夹角$\theta$的正弦成正比，与$r^2$成反比，$dB$的方向为 $dl\times r$所决定的方向

$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\times r}{r^3}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idlsin\theta }{r^2}$

2、库仑定律及其表达式

在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小和它们电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力方向沿着它们之间的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸

$F_{21}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r_{12}^2}{e}_{12}$

3、电场强度的定义、实质及点电荷场强分布

单位正电荷在该点所受的电场力的大小

实质：电场强度实质反映了电场本身的性质。

$E=\frac{F}{q_0}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}{e}_r$

4、电势的定义、实质及点电荷电势分布表达式

电荷在电场中某点的电势能与它的电量的比值，在量值上等于单位正电荷放在该点时的电势能

$U_p=\frac{{\epsilon }_p}{q_0}={\int }_p^{+\infty }E\cdot dl$

5、静电场的高斯定理

在真空中，通过任意一个闭合曲面$S$的电通量${\psi }_e$，等于该面所包围的所有电荷电量的代数和${\sum }_{i=1}^N{q}_i$除以${\epsilon }_0$

，与闭合曲面外的电荷无关

$\oint {\oint }_{s}E\cdot dS=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\sum }_{i=1}^N{q}_i$

6、稳恒磁场的高斯定理

通过任一闭合曲面的总磁通量必为0，$\oint {\oint }_{S}B\cdot dS=0$

7、稳恒磁场的安培环路定理

磁感应强度$B$沿任意闭合回路的线积分，等于该闭合回路所包围的各传导电流强度的${\mu }_0$倍

8、（磁场中）安培定律及其表达式

描述电流元所受磁场力，$dF=nSdlqv\times B=Idl\times B$

9、法拉第电磁感应定律

不论何种原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比，$\epsilon =-\frac{d{\varphi }_m}{dt}$

10、电磁感应定律的普遍形式及其意义

$\oint E\cdot dl=-\iint \frac{\partial B}{\partial t}dS$

四、计算

1、半径为R的无限长均匀带电圆柱体，其电荷体密度为$\rho$，求其电场强度分布

解析：由高斯定理，$\oint E\cdot dS=E\oint dS=E\cdot 2\pi rh=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum q_{内}$

可以得到$E=\frac{\sum q_{内}}{2\pi {\epsilon }_{0}rh}$

下面做高斯面，分情况：①$r<R$时，$\sum q_{内}=\rho \pi r^{2}h$，代入$E$的表达式得$E=\frac{\rho r}{2{\epsilon }_0}$

②$r>R$时，$\sum q_{内}=\rho \pi R^{2}h$，$E=\frac{\rho R^2}{2{\epsilon }_{0}r}$

2、用场强积分法求电荷$Q$均匀分布在半径为$R$的球体内时，球内一点$P$处的电势(并作图)

解析：由高斯定理$\oint E\cdot dS=E\cdot 4\pi r^2=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum q_{内}$

得到$E=\frac{\sum q_{内}}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

由题目可以知道，球的体电荷密度为$\sigma =\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3Q}{4\pi R^3}$

下面分情况讨论场强：①$r<R$，$\sum q_{内}=\sigma \cdot \frac{4}{3}\pi r^3=\frac{Q{r}^3}{R^3}$

$E_1=\frac{\frac{Q{r}^3}{R^3}}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}$

②$r>R$，$\sum q_{内}=Q$，$E_2=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

得到场强后，电势也就是场强由起点到无穷远的线积分

①$r<R$，$V={\int }_{起点}^{\infty }Edl={\int }_r^R{E}_1\cdot dr+{\int }_R^{\infty }{E}_2\cdot dr=$${\int }_r^R\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}dr+{\int }_R^{\infty }\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}dr=\frac{Q(R^2-r^2)}{8\pi {\epsilon }_0{R}^3}+\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$

②$r>R$，$V={\int }_{起点}^{\infty }E\cdot dl={\int }_R^{\infty }{E}_2\cdot dr={\int }_R^{\infty }\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}dr=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$

3、一带电细棒长为$L$，电荷线密度为$\lambda ={\lambda }_0(b+x)$，${\lambda }_0>0$，坐标原点$O$位于细棒左端，现在棒外有一$P$点，和细棒的距离为$a$，已知$OP$在细棒上的投影为$\frac{L}{3}$，且$O{P}^2=a^2+(\frac{L}{3}{)}^2$，$3b=-L$，求$P$点电势

分析：细棒在$P$点的电势，可以由细棒上的每一个微元在$P$点的电势累加形成，具体问题又回归到点电荷在一点的电势，然后定积分求解即可。注意细棒的线密度是动态变化的

求解：点电荷在一点的电势表达式为$dV=\frac{dq}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$，由题目可知，$dq=\lambda dx$，代入$\lambda$的表达式，

$dV=\frac{dq}{4\pi {\epsilon }_{0}r}=\frac{\lambda dx}{4\pi {\epsilon }_{0}r}=\frac{{\lambda }_0(b+x)dx}{4\pi {\epsilon }_{0}r}=\frac{{\lambda }_0(-\frac{L}{3}+x)dx}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$

由几何关系$O{P}^2=a^2+(x-\frac{L}{3}{)}^2$，$OP=r$，

代入$dV$的表达式中，并对两边求定积分即可，具体细节如下

$V=\frac{{\lambda }_0}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_0^L\frac{-\frac{L}{3}+x}{r}dx=\frac{{\lambda }_0}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_0^L\frac{x-\frac{L}{3}}{\sqrt{(x-\frac{L}{3}{)}^2+a^2}}dx$

最终结果为$\frac{{\lambda }_0}{4\pi {\epsilon }_0}(\sqrt{\frac{4}{9}{L}^2+a^2}-\sqrt{\frac{L^2}{9}+a^2})$

4、利用磁场中的环路定理，求“无限长”载流圆柱直导体的内外磁场分布，设圆柱半径为$R$，总电流$I$在圆柱直导体的横截面上均匀分布

解析：①$r<R$时，由安培环路定理，$\oint B\cdot dl={\mu }_0\sum I_{内}$

$B\cdot 2\pi r={\mu }_0\frac{I}{\pi R^2}\cdot \pi r^2=\frac{{\mu }_{0}I{r}^2}{R^2}$

解得$B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi R^2}$，方向逆时针

②$r>R$时，$\sum I_{内}=I$，$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，逆时针

5、在真空中有两根相互平行的载流直导线相距$a$米，通有方向相反的电流$I_1,I_2$，求两根载流直导线所决定的平面内位于一导线两侧各距离$b$米的两点的磁感应强度$B$的大小

原答案错误，请谅解

6、一无限长载流直导线中的电流随时间余弦变化$I=I_0\cos \omega t$，矩形线圈与载流导线共面，线圈长为$L$，宽为$b$，其长边与载流导线平行，开始时线圈距导线距离为$r$，求通过线圈的磁通量及线圈中的感应电动势
解析：由毕奥-萨法尔定律可推出二级结论，无限长导线附近的磁感应强度为$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}$

在线圈上任取一面积元$dS$，其宽度为$dx$，且$dS=ldx$，该面积元的磁通量为$d\phi =B\cdot dS=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}ldx$

对$d\phi$的表达式积分，得到整个线圈的磁通量$\phi =\int d\phi =\frac{{\mu }_{0}Il}{2\pi }{\int }_r^{r+b}\frac{1}{x}dx=\frac{{\mu }_{0}l{I}_0\cos \omega t}{2\pi }ln\frac{r+b}{r}$

由法拉第电磁感应定律得：$E=-\frac{d\phi }{dt}$

对上述磁通量表达式对$t$求导可得最终结果

$E=\frac{\omega {\mu }_{0}l{I}_0}{2\pi }ln\frac{r+b}{r}(-\sin \omega t)$

7、一载有电流$I=3.5A$的硬导线，转折处为半径$r=0.20m$的$\frac{1}{4}$圆周$ab$，均匀外磁场的大小为$B=2.0T$，其方向垂直于导线所在的平面，求圆弧部分所受安培力

解析：在导线上取一线元$Idl$，对这个线元，其受到的安培力为$dF=Idl\times B=IBdl$，

因为$F$在每一点的方向不同，不能直接累加，所以我们要用其在$x,y$轴上的分量累加

$d{F}_x=IBdl\sin \phi =IBdy$

$d{F}_y=IBdlcos\phi =IB{d}_x$

对上面两个式子求定积分即可

$F_x={\int }_0^{0.2}IBdy=1.4$

$F_y={\int }_0^{0.2}IBdx=3.5\times 2\times 0.2=1.4(N)$
最终结果$1.4\sqrt{2}$
8、一无限长载流直导线中的电流为$I$，矩形线圈与载流导线共面，线圈长$L$平行于载流导线，线圈宽为$b$，开始距导线为$a$，矩形导线框以水平速度$v_0$远离，求通过线圈的磁通量及线圈中的感应电动势

(1)同第6题，在线圈上取面积元$dS=Ldx$，$d\phi =B\cdot dS=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi (a+v_{0}t+x)}Ldx$

对上面式子求定积分即可，$\phi =\int d\phi =\frac{{\mu }_{0}IL}{2\pi }{\int }_0^b\frac{1}{a+v_{0}t+x}dx=\frac{{\mu }_{0}IL}{2\pi }ln(1+\frac{b}{a+v_{0}t})$

(2)由法拉第电磁感应定律，$E=-\frac{d\phi }{dt}=\frac{{\mu }_{0}IL}{2\pi }\ast \frac{b{v}_0}{(a+v_{0}t+b)(a+v_{0}t)}$
9、质量为$M$的氢气，在温度为$T_1$时，体积为$V_1$，让其等温膨胀至$V_2$，求①系统的内能②系统对外所做的功

①理想气体内能为$E=\frac{i}{2}\frac{M}{\mu }RT$，其增量表达式为$\Delta E=\frac{i}{2}\frac{M}{\mu }R\Delta T=\frac{i}{2}\frac{M}{\mu }R(T_2-T_1)$

由题目可知，前后温度不变，故$\Delta E=0$

故内能等于变化前的内能，因为氢气是双原子分子，故自由度$i=5$，内能为$\frac{5MR{T}_1}{4}$

②气体做功的表达式$A={\int }_{V1}^{V2}PdV$，由理想气体状态方程可知，$p=\frac{MRT}{\mu V}$

代入氢气$\mu =2$，并将$P$的表达式代入$A$得$A=\frac{MRT}{2}{\int }_{V_1}^{V_2}\frac{1}{v}dv=\frac{MRT}{2}ln\frac{V2}{V1}$

10、将压强为$P$ $pa$，体积为$V_1$立方米氧气的理想气体，自温度$T_1$度加热到$T_2=T_1+100$度，如果压强保持不变，求此系统内能增量及需要吸收多少热量

氧气是双原子分子，$i=5$

对前后两个状态列理想气体状态方程：

$P{V}_1=\frac{M}{\mu }R{T}_1$

$P{V}_2=\frac{M}{\mu }R{T}_2$

又内能变化量为$\Delta E=\frac{i}{2}\frac{M}{\mu }R\Delta T$

联立上述三个式子，内能增量为$250\frac{P{V}_1}{T_1}$

由热力学第一定律得，$Q=\Delta E+A$

气体做功表达式为$A={\int }_{V_1}^{V_2}PdV=P(V_2-V_1)$

联立上述五个式子，最终吸热为$350\frac{P{V}_1}{T_1}$