matlab最小二乘法求参数_回归系列（二）| 最小二乘法真有那么复杂吗

点击蓝字 关注我们

1

样本与总体回归系数的区分

简单回顾一下：  属于样本值，而   是总体值。总体值是未知的但它是确定的，正因为它是未知的，所以我们才要检验它是否等于0。 而   是根据样本计算出来的，它具体是多少，我们是知道的，不需要再检验。 比如前文中所举的教育程度和收入的例子，通过抽取1000名研究对象，我们计算出来一个回归方程(样本)： 由上式可以知道：   ，即X的回归系数，所以它已经是确定等于200了，不可能再来检验它是否等于0。 好比我们做身高的单样本t检验时，零假设会写“总体均数   是否等于1.75”，而不是说检验“   ”，   是多少已经根据样本计算出来了。 这一点内容看似很简单，但其实经常有同学犯糊涂，所以，还是值得专门说一下。

2

回归系数的计算

搞清楚了   和   的区别，我们今天重点来看看   是怎么来的。因为我们获得的是样本数据，所以只能计算出   ，不能准确地算出   ，但是可以通过   来推断   的大小，当然主要是与“0”比。 借用我们讲相关分析时的例子：探讨粮食中某种毒素(DON)对骨关节炎评分(OAP)的影响，数据如下： 无论是做回归还是相关分析，我们拿到数据的第一步应该是先画一个散点图：以因变量Y为纵轴，以自变量X为横轴(如果有多个自变量，则让Y逐一与X画散点图)。 本例我们研究的是DON对OAP的影响，所以以OAP为Y，以DON为X，散点图如下： 如上图，两变量之间正向的线性关系还是很明显的，随着DON的提升，OAP也有上升的趋势，所以推测，粮食中DON毒素可能会导致患者关节炎的发生。 我们现在希望通过回归分析来定量地衡量DON对OAP的影响，就是希望求出回归方程中的   值，更准确而言，就是求X的回归系数。 回归方程在几何上是一条直线，所以问题归结于怎么样找到一条这样的直线。 因为我们希望回归直线尽可能最优，所以就需要做出的直线离各散点的综合距离最小。 如下图中的u1、u2，代表了散点与回归直线的距离。 如下图，我们根据肉眼观察，对关节炎的数据画出来两条线：蓝线和红线，问题是到底选择哪一条线呢？ 肉眼观察肯定不靠谱，只能通过数学计算来比较判断，如何判断呢？本质上这是一个求最小值的问题。 上面说过了，我们希望得到的直线离所有散点的综合距离最小，怎么把这句话转变成数学计算呢？ 所谓的“综合距离”最小，用数学的语言来表达就是让下面这个式子取最小值 因为 所以   综合起来可以写成： 重点看上式的右边，我们要知道，   都是已知的(抽样获取的)，只有   和  是未知的，所以可以通过求最小值时将它们计算出来。 别被复杂的式子唬住，其实这里只需要初中或高中的数学就能解决。耐心的小伙伴可以尝试展开一下，其实就是一个二次函数。 如果稍微有点高数的基础，可以把它构造成一个二元函数，然后分别对   和  求偏导数，还记得吗？导数为零的点是极值点。 求解出来的结果是：

以上这个过程就是大家总能听到的“最小二乘法”。

回到我们关节炎的例子，最后得出其回归方程为：

来源：“丁点帮你”公众号

---

【免责声明】《管理学刊》微信公众平台所转载的专题文章，仅作学术交流之用，未有任何商业目的；本平台对文中观点保持中立；文章版权属于原作者，如果分享内容有侵权或非授权发布之嫌，请联系我们，我们会及时审核处理。

扫二维码｜关注我们

微信号｜glxk2009

电话｜0373-3683517