数论之扩展欧几里得，费马小定理，欧拉定理 + 求最小乘法逆元

前两天二刷了《模仿游戏》，Alan Turing在二战中研制的图灵机破译了德军号称牢不可破的Enigma密码机。这部剧让我对计算机产生了一些新的理解，结合以前修过的密码学原理课程，因此想记录一下之前没掌握好的数论知识，并且以RSA公钥密码为例，解一道经典题。

1 逆元定义

若$a\ast x\equiv 1(modb)$，且 a 与 b 互斥，那么就能定义 x 为 a 的逆元，记为$a^{-1}$，也可称为 x 为 a 的倒数。

2 欧几里得算法（求最大公约数）

首先介绍古老而又强大的欧几里得算法（又称辗转相除法）：

两个数 a 和 b 的最大公因子（greatest common divisior）是能整除它们两者的最大整数。欧几里德算法用于计算两个整数 a，b 的最大因子。记 gcd(a,b)为自然数 a与 b的最大公因子。特别的，有 gcd(0, n) = 0，因为任何整数都能整除 0。

内容：
$$gcd(a,b)=\{\begin{array}{rl}a& ,b=0\\ gcd(b,amodb)& ,b\ne 0\end{array}$$
代码：

int gcd(int a, int b){
        
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);     
}

3 扩展欧几里得算法

3.1 预备知识

1.取模运算：

(a + b) % c = (a % c + b % c) % c
(a * b) % c = (a % c * b % c) % c

取模运算对除法不成立，当要求(a / b) % c时，可转化为逆元来求：
$$(a/b)\%c=(a\ast b^{-1})\%c=(a\%c\ast b^{-1}\%c)\%c$$
这就是逆元的作用。

2.裴蜀定理：

给予两个整数 a，b，必存在整数 x，y 使得$$ax+by=gcd(a,b)$$

即如若 $ax+by=c$ 有解，那么有 $gcd(a,b)|c$（c一定是$gcd(a,b)$的若干倍）

特例：当$c=1$时，如果 $ax+by=1$ 有解，那么 $gcd(a,b)=1$

3.2 关于扩展欧几里得算法

• 扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm）是欧几里得算法的扩展。它可用来求解形如$ax+by=c(a,b,c\in Z$)方程的一组整数解。
• 对于求解方程$ax+by=c(gcd(a,b)|c)$，只需求解出方程$$ax+by=gcd(a,b)$$的一组解，将 $x,y$ 分别乘上$\frac{c}{gcd(a,b)}$即可得到方程 $ax+by=c(gcd(a,b)|c)$ 的一组解。
• 扩展欧几里得算法可以用来计算模反元素(也叫模逆元)，而模反元素在RSA加密算法中有举足轻重的地位。

3.3 模板

(思考了一下该先放模板，还是先放算法的证明过程，最后决定先放模板， 然后就着模板理解算法的证明过程)

ll ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
     
	//标记1
	if(b == 0){
     
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ll d = ex_gcd(b, a % b, x, y);
	ll temp = y;
	//标记2
	y = x - (a / b) * y;
	x = temp;
	//标记3
	return d;
}

3.4 算法推导过程

现有方程：$$ax+by=gcd(a,b)$$
记ex_gcd(a, b, x, y)为求解上述方程的函数，函数返回的是$gcd(a,b)$的最大公约数(对应模板代码标记3），其中形参 $x,y$ 为引用参数(全局变量)，也是上述方程的解。

• 边界情况(对应模板代码标记1）：
  当 $b=0$ 时，方程为$ax=gcd(a,0)$，解得
  $$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}$$此时a就是$gcd(a,0)$的最大公约数，因此函数return a。
• 一般情况(对应模板代码标记2）：
  当$b\ne 0$时，有欧几里得算法
  $$gcd(a,b)=gcd(b^{\prime },a^{\prime }\%b^{\prime })$$则有方程
  $$ax+by=gcd(a,b)=gcd(b^{\prime },a^{\prime }\%b^{\prime })$$另外有等式（不是啥公式，一个运算技巧）：
  $$a\%b=a-(a/b)\ast b$$则方程可化为
  $$gcd(b^{\prime },a^{\prime }\%b^{\prime })=b^{\prime }{x}^{\prime }+(a^{\prime }\%b^{\prime })y^{\prime }=b^{\prime }{x}^{\prime }+(a^{\prime }-(a^{\prime }/b^{\prime })\ast b^{\prime })y^{\prime }$$上式化简得：
  $$b^{\prime }{x}^{\prime }+a^{\prime }{y}^{\prime }-(a^{\prime }/b^{\prime })\ast b^{\prime }\ast y^{\prime }=a^{\prime }{y}^{\prime }+b^{\prime }\ast (x^{\prime }-a^{\prime }/b^{\prime }\ast y^{\prime })$$
  于是可以得到关于方程解$x,y$的递推关系：
  $$\{\begin{array}{l}x=y^{\prime }\\ y=x^{\prime }-a^{\prime }/b^{\prime }\ast y^{\prime }\end{array}$$
• 由此我们得到了边界条件以及递归式，即每次递归ex_gcd(b, a mod b, x, y)，稍加处理，即可求得方程$ax+by=gcd(a,b)$的一组解$x,y$。

3.5 利用拓展欧几里得算法求逆元

那么问题来了，我们通过函数ex_gcd(a, b, x, y)，求得$gcd(a,b)$（即最大公约数）的结果，以及一组方程解$(x,y)$，对求逆元有什么作用？

1.根据逆元定义$$a\ast x\equiv 1(modb)$$
当我们求 $a$ 在 $modb$ 情况下的逆元时，假设逆元为x，即
$$ax\equiv 1(modb)$$转化等式：
$$ax\equiv 1+by((b\ast y)|(a\ast x),即a\ast x是b\ast y的若干倍)$$移项
$$ax+by\equiv 1$$则最小的 $x$ 即为 $a$ 在 $modb$ 情况下的一个逆元

2.由裴蜀定理：
$$ax+by=gcd(a,b)$$
当 $gcd(a,b)=1$ 时，由扩展欧几里得函数ex_gcd(a, b, x, y)求得的方程解 $x$ 即为我们所求的最小乘法逆元。

3.因此下面代码中的标记4得到解释：

//拓展欧几里得算法
ll ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
     
	//标记1
	if(b == 0){
     
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ll d = ex_gcd(b, a % b, x, y);
	ll temp = y;
	//标记2
	y = x - (a / b) * y;
	x = temp;
	//标记3
	return d;
}

//求a在mod下的逆元x
ll getInv(ll a, ll mod){
     
	ll x, y;
	ll d = ex_gcd(a, mod, x, y);
	//标记4
	return d == 1 ? (x + mod) % mod : -1;
}

• 当扩展欧几里得函数ex_gcd(a, b, x, y)返回的最大公约数 $d=1$ 时，$x$ 即为 $amodb$ 下的最小乘法逆元，(x + mod) % mod是为了将 $x$ 调整到 0 ~ (b - 1)的范围中。
• 当函数的返回值 $d\ne 1$ 时，即说明逆元不存在，返回 $-1$。
• 拓展欧几里得求逆元的时间复杂度：$O(logn)$
• 适用范围：只要存在逆元即可求，适用于个数不多但是mod很大的时候，也是最常见的一种求逆元的方法。

4 费马小定理

4.1 定义

如果 $p$ 是一个质数，且整数 $a$ 不是 $p$ 的倍数，则有：$a^{p-1}\equiv 1(modp)$

• 由公式得：
  $$a^{p-2}\ast a\equiv 1(modp)$$
  因此 $a^{p-2}$ 即为 $a$ 在 $modp$ 意义下的逆元。
• 而 $a^{p-2}$ 可用快速幂求解（关于快速幂原理可在此博客了解：快速幂 & 快速乘原理讲解（模板））

4.2 模板

//快速幂
ll ksm(ll a, ll p, ll mod) {
     
    ll ans = 1, base = a % mod;
    while(p) {
     
		if(p & 1) {
     
		    ans = (ans * base) % mod;
		}
		base = (base * base) % mod;
		p >>= 1;
    }
    return ans;
}
//求逆元
ll getInv(ll a, ll mod){
     
	return ksm(a, p - 2, mod);
}

• 费马小定理求逆元的时间复杂度：$O(logmod)$
• 适用范围：根据费马小定理，$modp$为质数时适用。并且比扩展欧几里得算法好写一些。

5 欧拉定理

欧拉定理（也称费马-欧拉定理），是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若 $p,a$ 为正整数，且 $p,a$ 互质，则：
$$a^{\phi (p)}\equiv 1(modp)$$

• 由公式得：
  $$a^{\phi (p)-1}\ast a\equiv 1(modp)$$
  因此 $a^{\phi (p)-1}$ 即为 $a$ 在 $modp$ 意义下的逆元。
• 可以看到，费马小定理是欧拉定理的特例，当 $p$ 为质数时，$\phi (p)=p-1$，$\phi (p)-1=p-2$
• 欧拉定理比费马小定理适用范围更广，因为模数 $p$ 可以不是质数。
• 一般很少有人直接用欧拉定理求逆元（偷个懒，板子就不贴上来了）

6 RSA公钥密码经典例题

说了这么多废话 （正经话），终于可以开始做题了。

6.1 题目描述

    RSA是一种经典的加密算法。它的基本加密过程如下。
    首先生成两个质数 $p,q$，令 $n=p\ast q$，设 $d$ 与 $(p-1)\ast (q-1)$ 互质，则可找到 $e$ 使得 $d\ast e$ 除 $(p-1)\ast (q-1)$ 的余数为 1。
    $n,d,e$ 组成了私钥，$n,d$ 组成了公钥。
    当使用公钥加密一个整数 $X$ 时(小于 $n$ )，计算 $C=X^{d}modn$ ，则 $C$ 是加密后的密文。
    当收到密文 $C$ 时，可使用私钥解开，计算公式为 $X=C^{e}modn$。
    例如，当 $p=5,q=11,d=3$ 时，$n=55,e=27$。
    若加密数字$24$，得$24^{3}mod55=19$.
    解密数字$19$，得$19^{27}mod55=24$.
    现在你知道公钥中 $n=1001733993063167141,d=212353$，同时你截获了别人发送的密文$C=20190324$，请问，原文是多少?

6.2 分析

• 由题目已知$n,d,C$，根据解密公式 $X=C^{e}modn$，只需求得私钥 $e$ ，即可解得原文 $X$。
• 根据题目信息：$d$ 与 $(p-1)\ast (q-1)$ 互质，则可找到 $e$ 使得 $d\ast e$ 除 $(p-1)\ast (q-1)$ 的余数为 1，翻译成 人话（公式）就是：$$d\ast e\equiv 1(mod(p-1)\ast (q-1))$$
• 设 $k=(p-1)\ast (q-1)$，即：$$d\ast e\equiv 1(modk)$$
• 由上述公式可得 $e$ 即为 $d$ 在 $modk$意思下的乘法逆元。在这里我们用拓展欧几里得算法求解。
• 最后一个问题：关于 $k$ 即 $(p-1)\ast (q-1)$应该如何求解。这里用到质因数分解，由题目可知 $n=p\ast q$，且 $p,q$ 均为质数。我们先找到一个小于 $n$ 的质数 $p$，再用 $n/p$ 即可得到 $q$ 。

6.3 题解

#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long ll;

ll n = 1001733993063167141, d = 212353, c = 20190324;

//判断质数 
ll isPrime(ll x){
     
	for(ll i = 2;i <= x;i++){
     
		if(x % i == 0){
     
			return i;
		}
	}
}

//扩展欧几里得算法 
ll ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
     
	if(b == 0){
     
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ll d = ex_gcd(b, a % b, x, y);
	ll temp = y;
	y = x - (a / b) * y;
	x = temp;
	return d;
}

//求a在mod下的乘法逆元x
ll getInv(ll a, ll mod){
     
	ll x, y;
	ll d = ex_gcd(a, mod, x, y);
	return d == 1 ? (x + mod) % mod : -1;
}

//快速乘 
ll ksc(ll a, ll b, ll mod) {
     
    ll ans = 0;
    while(b) {
     
		if(b & 1) {
     
	    	ans = (ans + a) % mod;
		}
		a = (a + a) % mod;
		b >>= 1;
    }
    return ans;
}

//快速幂 
ll ksm(ll a, ll b, ll mod) {
     
    ll ans = 1, base = a;
    while(b) {
     
		if(b & 1) {
     
	    	ans = ksc(ans, base, mod) % mod;
		}
		base = ksc(base, base, mod) % mod;
		b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main(){
     
	ll p = isPrime(n), q = n / p, k = (p - 1) * (q - 1);
	ll e = getInv(d, k);
//	printf("e is %lld\n", e);
	ll x = ksm(c, e, n);
	printf("%lld\n", x);
	return 0;
}

• 注意到题目中的数据实在是太大了，单独用快速幂求解 $X=C^{e}modn$ 会导致数据溢出，因此我们对快速幂优化了一下（用快速乘求每次 $a$ 的余数，再快速幂对余数进行幂运算），达到模拟大数模幂运算的效果。
• 相关博客可参考：快速幂 & 快速乘取模（模拟大数模幂运算，解决乘法爆long long问题）

运算结果：

• 答案：579706994112328949
• RSA是非对称加密算法，基于大数分解，题目只是模拟了一下RSA解密的过程，可以看到当 $n=1001733993063167141$ 时，我的电脑跑出结果就花了十几秒。而真正RSA密码中，$n$ 一般而言可达到 $1024\sim 2048$ 比特，普通的计算机跑出结果要十年左右，量子计算机需一周。

参考博客：欧几里德算法与扩展欧几里德算法