密码学之RSA加密原理解析

  密码学是指研究信息加密，破解密码的技术科学。密码学的起源可追溯到2000年前。而当今的密码学是以数学为基础的。
  密码学的历史大致可以追溯到两千年前，相传古罗马名将凯撒大帝为了防止敌方截获情报，用密码传送情报。凯撒的做法很简单，就是对二十几个罗马字母建立一张对应表。这样，如果不知道密码本，即使截获一段信息也看不懂。从凯撒大帝时代到上世纪70年代这段很长的时间里，密码学的发展非常的缓慢，因为设计者基本上靠经验，没有运用数学原理。

• 在1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：加密、解密使用同一种算法。在交互数据的时候，彼此通信的双方就必须将规则告诉对方，否则没法解密。那么加密和解密的规则（简称密钥），它保护就显得尤其重要。传递密钥就成为了最大的隐患。这种加密方式被成为对称加密算法（symmetric encryption algorithm）
• 1976年，两位美国计算机学家 迪菲（W.Diffie）、赫尔曼（ M.Hellman ） 提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成密钥交换。这被称为“迪菲赫尔曼密钥交换”算法。开创了密码学研究的新方向
• 1977年，三位麻省理工学院的数学家 **罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）**一起设计了一种算法，可以实现非对称加密。这个算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。

2、RSA数学原理

  上世纪70年代产生的一种加密算法。其加密方式比较特殊，需要两个密钥：公开密钥简称公钥(publickey)和私有密钥简称私钥(privatekey)。公钥加密，私钥解密；私钥加密，公钥解密。这个加密算法就是伟大的RSA。

2.1 离散对数问题

思考一：有没有加密容易，破解很难的的数学运算？
方案：–>离散对数

3为17的原根
$3^1\%17=3$; $3^2\%17=9$; $3^3\%17=10$;
$3^4\%17=13$; $3^5\%17=5$; $3^6\%17=15$;
$3^7\%17=11$; $3^8\%17=11$; $3^9\%17=14$;
$3^{10}\%17=8$; $3^{11}\%17=7$; $3^{12}\%17=4$;
$3^{13}\%17=12$; $3^{14}\%17=2$; $3^{15}\%17=6$;
$3^{16}\%17=1$;
结论：正推很简单，反推很难

模的基本运算 – 预备知识

加法：$(a+b)\ % \ m = (a \ % \ m) + (b \ % \ m) $
减法：$(a-b)\ % \ m = (a \ % \ m) - (b \ % \ m) $
乘法：$(a*b)\ % \ m = (a \ % \ m) * (b \ % \ m) $
除法：一般不做除法运算，因为可能无法取整
幂运算：${(a \ % \ m)}^b = a^b \ % \ m $ —>根据乘法公式计算得来

2.2 欧拉函数φ

  任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？ 计算这个值的方式叫做欧拉函数，使用：Φ(n)表示

• 如: 计算8的欧拉函数，和8互质的 1、2、3、4、5、6、7、8
  • φ(8) = 4
• 计算7的欧拉函数，和7互质的 1、2、3、4、5、6、7
  • φ(7) = 6
• 计算56的欧拉函数
  • φ(56) = φ(8) * φ(7) = 4 * 6 = 24

欧拉函数特点

• 1、当n是质数的时候，φ(n)=n-1。
• 2、如果n可以分解成两个互质的整数之积
  • 如n=A*B则：
    • φ(AB)=φ(A) φ(B)
    • φ(56) = φ(8) * φ(7) = 4 * 6 = 24
• 3、根据以上两点得到：如果N是两个质数P1 和 P2的乘积则 （两个质数必须互质）
  • φ(N)=φ(P1)* φ(P2)=(P1-1)*(P2-1)
  • φ(21) = φ(3) * φ(7) = 2*6 = 12
  • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 共12个

2.3 欧拉定理

  如果两个正整数m和n互质，那么m的φ(n)次方减去1，可以被n整除。

• 公式: $m^{\phi (n)}\%n=1$
  验证：m=3，n=4，则：φ(n) = φ(4) = 2
  结果：$3^2 \ % \ 4 = 1 $

2.4 费马小定理

  欧拉定理的特殊情况：如果两个正整数m和n互质，而且n为质数！那么φ(n)结果就是n-1。

• 公式：$m^{\phi (n)}\%n=m^{(n-1)}\%n=1$
  验证：m=3，n=5，则：φ(n) = φ(5) = 5-1 = 4
  结果：$3^4\%5=1$

2.5 公式换算

• 公式：$m^{\phi (n)}\%n=1$，正整数m和n互质
  验证：m=3，n=5，则：φ(n) = φ(5) = 4
  结果：$3^4\%4=1$

• 公式2：$m^{k\ast \phi (n)}\%n=1$，正整数m和n互质
  验证：m=3，n=5，则：φ(n) = φ(5) = 4，假设k=2
  结果：$3^8 \ \% \ 4 = 1$

• 公式3：$m^{k\ast \phi (n)+1}\%n=m$，正整数m和n互质,且m 验证：m=3，n=5，则：φ(n) = φ(5) = 4，假设k=1
  结果：$3^5\%4=3$

2.6 模反元素

  如果两个正整数e和x互质，那么一定可以找到整数d，使得 e*d-1 被x整除。那么d就是e对于x的“模反元素”

• 1、$e\ast d\%x=1$;
  验证：e=3，x=5
  找到结果：d=2或d=7或 ……，3*2 % 5 = 1

• 2、e*d = k*x + 1
  当x=φ(n)时，$m^{k\ast \phi (n)+1}\%n=m$ --> $m^{e\ast d}\%n=m$
  验证：m=3，n=15, x=φ(n)=φ(15)=φ(3)φ(5) = 24 = 8
  接着：取e=3与x=8互质，找到模反元素d=3或11或***
  结果：$m^{e\ast d}\%n=3^{3\ast 3}\%15=3$

• 3、以上结果做一点延伸：

$m^{e\ast d}\%n=3^{3\ast 3}\%15=3$
$m^{e\ast d}\%n=4^{3\ast 3}\%15=4$
$m^{e\ast d}\%n=5^{3\ast 3}\%15=5$
$m^{e\ast d}\%n=6^{3\ast 3}\%15=6$
$m^{e\ast d}\%n=7^{3\ast 3}\%15=7$
$m^{e\ast d}\%n=8^{3\ast 3}\%15=8$
$m^{e\ast d}\%n=9^{3\ast 3}\%15=9$
$m^{e\ast d}\%n=10^{3\ast 3}\%15=10$
$m^{e\ast d}\%n=11^{3\ast 3}\%15=11$
$m^{e\ast d}\%n=12^{3\ast 3}\%15=12$
$m^{e\ast d}\%n=13^{3\ast 3}\%15=13$
$m^{e\ast d}\%n=14^{3\ast 3}\%15=14$

**结论：**m$m^{e\ast d}\%n=m$

3、 RSA加密原理：

3.1 迪菲赫尔曼密钥交换

  原始需求：不直接用密钥进行传输，保证数据传输更加安全，交换的目的是为了获取到10这个值。
  实际应用可能是为了获得对称加密的秘钥

3.2 RSA加密原理：

1、$m^e\%n=c$ -->加密
2、$c^d\%n=(m^e\%n{)}^d\%n=m^{e\ast d}\%n=m$ -->解密

• 加密公式：$m^e\%n=c$
• 解密公式：$c^d\%n=m$
  • 公钥：n和e
  • 私钥：n和d
  • 明文: m
  • 密文: c
    ** 特别说明 **
• 1、n会非常大，长度一般为1024个二进制位。（目前人类已经分解的最大整数，232个十进制位，768个二进制位）
• 2、由于需要求出φ(n)，所以根据欧拉函数是特点，最简单的方式n由两个质数相乘得到: 质数：p1、p2
  Φ(n) = (p1 -1) * (p2 - 1)
• 3、最终由φ(n)得到e 和 d 。 总共生成6个数字：p1、p2、n、φ(n)、e、d

3.3 关于RSA的安全

除了公钥用到了n和e其余的4个数字是不公开的。
目前破解RSA得到d的方式如下：
1、要想求出私钥d。由于e*d = φ(n)k + 1。要知道e和φ(n);
2、e是知道的，但是要得到 φ(n)，必须知道p1 和 p2。
3、由于 n=p1p2。只有将n因数分解才能算出。—>穷尽法

3.4 RSA加密的特点：

1、只能加密小数据，加密一些核心的小数据
2、加密效率不高
3、主要用于核心数据加密，如对称加密的key，签名等

4、RSA终端命令

Mac的终端可以直接使用OpenSSL进行RSA的命令运行。
由于Mac系统内置OpenSSL(开源加密库),所以我们可以直接在终端上使用命令来玩RSA. OpenSSL中RSA算法常用指令主要有三个：

4.1 生成RSA私钥(密钥长度为1024bit)

//生成RSA私钥(密钥长度为1024bit)
RSA hmily$ openssl genrsa -out private.pem 1024
Generating RSA private key, 1024 bit long modulus
....................++++++
.++++++
e is 65537 (0x10001)

//输出私钥内容
RSA hmily$ cat private.pem
-----BEGIN RSA PRIVATE KEY-----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-----END RSA PRIVATE KEY-----

4.2 从私钥中提取公钥

//从私钥中提取公钥
RSA hmily$ openssl rsa -in private.pem -pubout -out public.pem
writing RSA key
//输出公钥内容
RSA hmily$ cat public.pem
-----BEGIN PUBLIC KEY-----
MIGfMA0GCSqGSIb3DQEBAQUAA4GNADCBiQKBgQDoGwSluU1rcrCuPjLuXhrslgLI
wXl+vOnEHhCOlq9/BrM4yrdcWyiEe59sjFP0ucKd55KjVxr0yMVBuY/4sYORB0DU
jjm7+ndVSiGUgbk7E0gUkAi47mcSfMWFtnpIBKCD4lMgqllZXITusfmADTRTjou9
fUudR4UuV5CA/ikN5wIDAQAB
-----END PUBLIC KEY-----

4.1、4.2生成以下两个文件

4.3 将私钥转换成为明文

//将私钥转换成为明文
RSA hmily$ openssl rsa -in private.pem -text -out private.txt
writing RSA key

4.4 通过公钥加密数据，私钥解密数据

//生成明文文件
RSA hmily$ vi message.txt
//查看文件内容
RSA hmily$ cat message.txt
密码:123456
//通过公钥进行加密
RSA hmily$ openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey public.pem -pubin -out enc.txt
//通过私钥进行解密
RSA hmily$ openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt

4.5 通过私钥加密数据，公钥解密数据

//通过私钥加密数据
RSA hmily$ openssl rsautl -sign -in message.txt -inkey private.pem  -out enc_p.txt
//公钥解密数据
RSA hmily$ openssl rsautl -verify -in enc_p.txt -inkey public.pem -pubin -out dec_p.txt

4.6 颁发证书请求证书（生成csr文件）

   csr，证书签名请求(certificate signing request，也称为CSR或certificate request)是申请人向证书颁发机构发送的一条消息，用于申请数字身份证书。它通常包含需要被颁发证书的公钥、标识信息(例如域名)和完整性保护(例如数字签名)。

//通过私钥生成csr文件，用于请求证书
//同“钥匙串->证书助理->从机构颁发证书请求证书”的操作类似
RSA hmily$ openssl req -new -key private.pem -out rsacert.csr
You are about to be asked to enter information that will be incorporated
into your certificate request.
What you are about to enter is what is called a Distinguished Name or a DN.
There are quite a few fields but you can leave some blank
For some fields there will be a default value,
If you enter '.', the field will be left blank.
-----
Country Name (2 letter code) []:CN
State or Province Name (full name) []:FUJIAN
Locality Name (eg, city) []:XIAMEN
Organization Name (eg, company) []:BISINUOLAN
Organizational Unit Name (eg, section) []:BISINUOLAN
Common Name (eg, fully qualified host name) []:bisinuolan.com
Email Address []:[email protected]

Please enter the following 'extra' attributes
to be sent with your certificate request
A challenge password []:

4.7 颁发签名证书（生成crt文件）

  有CSR必定有KEY，是成对的，CSR最终变成为证书crt，和私钥key配对使用。
  证书下发后，CSR就没有用了，只是在提交的时候需要。 机构签名的证书收费，也可自签名。

//证书请求证书和私钥生成私有签名证书
RSA hmily$ openssl x509 -req -days 3650 -in rsacert.csr -signkey private.pem -out rsacer.crt
Signature ok
subject=/C=CN/ST=FUJIAN/L=XIAMEN/O=BISINUOLAN/OU
=BISINUOLAN/CN=bisinuolan.com/[email protected]
Getting Private key

  在密码学中，X.509是定义公钥证书格式的标准。X.509证书用于许多Internet协议，包括TLS/SSL，它是HTTPS(用于浏览web的安全协议)的基础。它们也用于离线应用程序，比如电子签名。一个X.509证书包含一个公钥和一个标识(主机名、组织或个人)，由证书颁发机构签名或自签名。当证书由受信任的证书颁发机构签名时，或者通过其他方法进行验证时，持有该证书的人可以依赖于它包含的公钥来与另一方建立安全通信，或者验证由相应私钥数字签名的文档。

4.8 导出p12文件

//利用私钥和签名证书，导出p12文件
RSA hmily$ openssl pkcs12 -export -out p.p12 -inkey private.pem -in rsacer.crt
Enter Export Password:
Verifying - Enter Export Password:

5、RSA代码演示

 # 生成证书
 $ openssl genrsa -out ca.key 1024
 # 创建证书请求
 $ openssl req -new -key ca.key -out rsacert.csr
 # 生成证书并签名
 $ openssl x509 -req -days 3650 -in rsacert.csr -signkey ca.key -out rsacert.crt
 # 转换格式
 $ openssl x509 -outform der -in rsacert.crt -out rsacert.der
 @endcode

5.1 生成公钥

 # 生成证书
 $ openssl genrsa -out ca.key 1024
 # 创建证书请求
 $ openssl req -new -key ca.key -out rsacert.csr
 # 生成证书并签名
 $ openssl x509 -req -days 3650 -in rsacert.csr -signkey ca.key -out rsacert.crt
 # 转换格式
 $ openssl x509 -outform der -in rsacert.crt -out rsacert.der

5.2 生成私钥

# crt文件转成p12文件
 openssl pkcs12 -export -out p.p12 -inkey ca.key -in rsacert.crt

5.3 RSA加密代码

- (void)viewDidLoad {
    [super viewDidLoad];
    
    //1.加载公钥
    [[RSACryptor sharedRSACryptor] loadPublicKey: [[NSBundle mainBundle] pathForResource:@"rsacert.der" ofType:nil]];
    //2.加载私钥
    [[RSACryptor sharedRSACryptor] loadPrivateKey:[[NSBundle mainBundle] pathForResource:@"p.p12" ofType:nil] password:@"123456"];
}

- (void)touchesBegan:(NSSet *)touches withEvent:(UIEvent *)event {
    //1.加密
    NSData * result = [[RSACryptor sharedRSACryptor] encryptData:[@"hello" dataUsingEncoding:NSUTF8StringEncoding]];
    NSLog(@"加密的结果是:%@",[result base64EncodedStringWithOptions:0]);
    
    //2.解密
    NSData * jiemi = [[RSACryptor sharedRSACryptor] decryptData:result];
    NSLog(@"解密的结果：%@",[[NSString alloc] initWithData:jiemi encoding:NSUTF8StringEncoding]);
}