图聚类

1、图划分

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Min-cut

图G=(V,E)，V为节点集合，E为边集，寻找一个划分，使得划分的各个分量之间的连边权重之和最小。

Min Cut的问题

• 平凡解

  所有节点划分到同一个分量中

  解决办法：指定K

• 不均衡解

  划分的各个分量，大小差异大

  解决办法：限制分量大小

Min Cut的扩展：Ratio-cut， Normalized-cut

图划分求解算法

• 局部方法：KL算法

  目标：寻找图的最优两路划分

  第一步：构造初始划分C=C1+C2

  第二步：从C1中选择一个节点a，从C2中选择一个节点b，交换a和b可以使cutC减小，则交换

  重复第二步直至cutC不再减小

• 全局方法：谱划分

  谱聚类的基本思想便是利用样本数据之间的相似矩阵（拉普拉斯矩阵）进行特征分解（ 通过Laplacian Eigenmap 的降维方式降维），然后将得到的特征向量进行 K-means聚类。

2、社区发现

识别出网络中“内部连接紧密、与外部连接稀疏”的节点组。

和图划分的区别

• 图划分

  按照任务需求对网络进行划分

  划分的分量数通常已知

  各个分量彼此不重叠

• 社区发现

  寻找网络固有的结构规则

  社区个数通常未知

  社区可以重叠、嵌套

GN算法：基于边介数的算法 详细

步骤1：计算每条边的介数

步骤2：删除介数最大的边

模块度

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回答的问题：什么样的网络划分是一个好划分？

直观认识：内部连边多、外部连边少

模块度的性质：

取值范围：-1和1之间值越大，划分质量越好

可加性：社区上的定义和节点上的定义一致

社区发现问题变成了模块度优化问题

给定一个网络，寻找该模块度最大的划分

这是一个NP-hard问题，可使用多中优化算法

• 模块度优化算法示例-局部优化

初始化：每个节点属于一个社区

步骤1，对于每个节点，判定加入其邻居节点所属的社区是否可以增加模块度，如果能够增加，加入使模块度增加最大的社区，直到所有节点所属的社区都不再变动为止

步骤2，将每个社区视为一个节点， 构造新网络

重复上述步骤至模块度不再增加

InfoMap

两级哈夫曼编码

案例

3、图建模

• 非负矩阵分解

• 随机块模型