生成树计数 --- Matrix-Tree定理(基尔霍夫矩阵树定理)

定理证明请点这,多看几遍就懂了

模板题点这
题目大意：
*一个有n座城市的组成国家,城市1至n编号,其中一些城市之间可以修建高速公路;
*需要有选择的修建一些高速公路,从而组成一个交通网络;
*计算有多少种方案,使得任意两座城市之间恰好只有一条路径;
模板 ：

#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=20;
int degree[maxn];        //度数矩阵,记录每一个点的度数.    //不懂就看下上面那个定理证明.
ll a[maxn][maxn];        //矩阵树,  对角线是度数矩阵的每一个数,其余地方为 a[i][j] = a[i][j] - vis[i][j] ; 
int vis[maxn][maxn];   //临接矩阵,u与v相连就是等于1,否则就是为0.注意是无向边.

ll det(int n)    //生成树计数:Matrix-Tree定理   //这个是求行列式的精华啊(实质上这个子函数就是用来求行列式的值的!)(所以也适用于求行列式值的题)
{
    ll ret=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)    //计算任意一个n-1阶行列式的值就是答案.
    {
        for(int j=i+1; j<=n; j++){     
            while(a[j][i])
            {
                ll t=a[i][i]/a[j][i];    //如果要模,则这里就一下
                for(int k=i; k<=n; k++)
                    a[i][k]=(a[i][k]-a[j][k]*t);    //加一下
                for(int k=i; k<=n; k++)
                    swap(a[i][k],a[j][k]);      
                ret=-ret;
            }
        }
        if(a[i][i]==0)
            return 0;     //图无法联通.
        ret*=a[i][i];     //加一下
    }
    if(ret<0)     // 可以缩合为 ((ret % p ) + p ) % p ;
        ret=-ret;
    return ret;
}    //这个就是程序的主要函数,计算行列式的值.

int main()
{
    int tcase;
    scanf("%d",&tcase);
    while(tcase--)
    {
        memset(degree,0,sizeof(degree));
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int u,v;
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            vis[u][v]=1;   //相连就是1,否则就是0.
            vis[v][u]=1;
            degree[u]++;
            degree[v]++;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(i==j) a[i][j] = degree[i];
                else a[i][j] -= vis[i][j];
            }
        }
        printf("%lld\n",det(n));
    }
    return 0;
}

综合一下,还可以这样写:
(这个是在定理上面加强版,把一些步骤直接在缩合在了一起)
灵活点就是在目标矩阵中,为:(对于一些变形题就这样处理).
无向图的基尔霍夫矩阵: 对角线上表示每个点的度数,若ij之间有边则矩阵ij处为-1
无向图的生成树的数目为: 任意一个n-1阶主子式的行列式的绝对值.

 while(m--)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            a[u][v]=a[v][u]=-1;     //u与v相连,所以在目标矩阵中为-1.
            degree[u]++;
            degree[v]++;
        }
 for(int i=1;i<=n;i++)
      a[i][i]=degree[i];