数学中的各种空间

参考

1. 一篇文章带你理解再生核希尔伯特空间(RKHS)以及各种空间
2. 深刻理解空间（线性空间，度量空间，赋范空间，线性赋范空间，内积空间，巴拿赫空间以及希尔伯特空间）

数学中的空间

现代数学以集合为研究对象。如果研究班上的同学，则研究对象就是班上所有同学组成的集合。
有了研究对象，还需要有研究对象需要遵循的规则。比如要研究班级谈恋爱的情况，则定义一个规则：班里每一名同学可以和另一名同学(不能和自己)之间建立恋爱关系(不限男女)。定义一个规则后就得到了一个赋有某种规则的班级同学的集合，即一个同学恋爱空间。
如果在同学恋爱空间上再定义交友关系，则得到一个同学恋爱交友空间。也就是说关系可以叠加。
定义的规则就是公理，以后任何操作以及推导都只能在公理的基础上进行，为解决问题提供更加严谨的数学理论基础。
总而言之，数学中的空间的组成包括两个部分：研究的对象和内在的规则，或者叫做元素和结构。

1、线性空间

线性空间就是定义了加法和数乘的空间。
线性空间中的元素可以是任何东西。线性空间中的元素满足线性结构，即满足加法和数乘。定义加法和数乘需要8条公理：
(1)
(2)
(3) ,其中为元素
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
空间里的一个元素可以由其他元素线性表示，就是线性空间。

2、度量空间

度量空间就是定义了距离的空间。
距离有很多，例如欧式距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离、马氏距离、切比雪夫距离等等。最常用的两点之间连线的距离称为欧式距离。
距离就是两个元素对应一个数。为集合中两个元素，则决定了一个数。定义距离有三条要遵守的要求：
(1) 非负性、同一性：当且仅当时取等。
(2) 对称性：
(3) 三角不等式：

3、赋范空间

赋范空间就是定义了范数的空间。
距离是针对两个元素，而范数是针对一个元素。定义范数需要遵守三个要求：
(1) 非负性：
(2) 齐次性：
(3) 三角不等式：
定义了范数，可以在此基础上定义距离：也就是说范数比距离更具体，有了范数已定能用范数定义距离，但是又距离不能定义范数。

4、线性赋范空间

线性赋范空间就是定义了加法、数乘、范数的空间。

5、巴拿赫空间

巴拿赫空间就是完备的赋范空间，定义了距离、范数、完备性。
完备简单来讲就是定义了极限，无论怎么取极限，它的极值都不会跑出这个空间。

• 完备空间的定义：如果一个空间是完备的，则该空间中的任何一个柯西序列都收敛在该空间中。
  柯西序列就是随着序数增加，值之间的距离越来越小的序列。(就是定义了一个极限)
  比如实数集是完备的，而有理数集是不完备的。有理数数列取极限可能是无理数。
  柯西序列中提到了距离的概念，也就是说在定义完备空间之前，先要有距离的概念。所以完备空间也是完备度量空间。

6、内积空间

内积空间是定义了内积的空间。
内积将两个矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。
内积可以定义范数，也就是说内积比范数更具体。

7、欧式空间

欧式空间是定义了内积的有限维实线性空间。

8、希尔伯特空间

希尔伯特空间是完备的内积空间。

9、拓扑空间

拓扑空间只定义交并运算，即交并运算后仍属于同一集合，包括空集。

空间的关系

线性空间：只有加法和数乘。
度量空间：定义了距离。
赋范空间：定义了范数。
线性赋范空间：线性空间 + 范数。
线性度量空间：线性空间 + 距离。
内积空间：定义了内积。
拓扑空间：定义了交并运算。
巴拿赫空间：赋范空间 + 完备性。
希尔伯特空间：内积空间(无限维) + 完备性。
注：范数比距离更具体，内积比范数更具体。

结尾

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