波恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年—1866年）出生于汉诺威王国（今德国）的小镇布列斯伦茨。他的父亲是当地的路德会牧师，据说参加过反拿破仑的战争。
黎曼家境贫寒，他幼年成长在奎克博恩，那儿没有中学，启蒙教育是父母完成的。直到1840年，黎曼14岁，搬到王国首都汉诺威和祖母一起生活，这才进入中学接受正规的教育。
黎曼自小体弱多病，他是个安静害羞的人，远离父母上学，让他很想念家乡。由于经济拮据，黎曼没钱去买参考书，幸好校长借给他一部数学家勒让德的《数论》，这是一部共859页的4大本的名著。黎曼十分珍惜这种读书机会，他如饥似渴地自学起来，6天之后，黎曼便学完并归还了这本书。校长问他：“你读了多少？”黎曼说：“这是一本了不起的书，我已经掌握了它。”校长就这本书的内容考他。黎曼对答如流，并且回答得很全面，让校长大吃一惊！这样，校长特许黎曼可以从自己私人藏书室里借阅数学书籍。利用校长的藏书，黎曼还抓紧时间很快地自学了大数学家欧拉的著作，由此掌握了微积分及其分支。黎曼不仅从欧拉的著作中学到了数学知识，还学到了欧拉研究数学的技巧。
1842年，祖母去世后，他搬到吕内堡的约翰纽姆去上学。1846年，黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学。起初，他的志向是像父亲一样成为一个牧师，但在大学时，他去听了一些数学讲座，此时，高斯正在哥廷根任教，黎曼听了高斯的线性代数课和斯特恩的方程论课程，黎曼实在克制不住对数学的喜爱，就将改学数学的想法告诉了父亲。黎曼的父亲很通情达理，同意了他的请求。这样，在得到父亲的允许后，黎曼改学数学。1847年，黎曼去柏林大学进修 ，受到 C.G.J.雅可比和P.G.L.狄利克雷的影响。
1849年，黎曼回到哥廷根大学攻读博士学位。两年后，黎曼25岁时，提交一篇出色的关于复变函数的论文。考核这篇论文的正是大名鼎鼎的高斯。黎曼的这篇论文竟然让75岁的高斯感动了——他可是一个很少动感情的人。高斯以他敏锐的直觉发现黎曼论文的重要性，后世也证明了这一点，这篇论文对于复变函数的发展有着关键性作用，也就是我们现在在复变函数课上都会先学到的柯西-黎曼方程。不仅如此，这篇论文还提到了黎曼曲面理论的最初概述，是函数和拓扑的结合，成为函数的几何理论的基础。
高斯这样评价这篇论文：“一项重大而有价值的成果，不仅符合对博士论文所要求的各项指标，而且远远超过它们。”得到高斯如此评价，黎曼很快就在柏林大学获得了博士学位。获得学位后，黎曼留在哥廷根继续数学研究。1853年，黎曼定义了黎曼积分并研究了三角级数收敛的准则。
1854年，黎曼成为了哥廷根大学的无薪讲师，就职前需要做一个表示自己学术水平的演讲，高斯为他选了欧几里得第五公设的课题。
千百年来，欧洲人学习数学都必须要懂欧几里得的《几何原本》。欧几里得从几个基本的公设和公理出发，建立起一套严密的证明体系。此书严密的证明体系训练了欧洲人的逻辑思维，对科学的诞生有着重要意义。在欧几里得给出的公设中，第五公设的内容是：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。这条公设不像其它公设那样简洁，总让人感觉，似乎第五公设是可以用其它公设证明出来的！然而，几百年过去了，所有尝试证明第五公设的人都失败了！
波埃伊（Bolyai，1802年～1860年）试着证明第五公设，虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究，但小波埃伊还是沉溺于第五公设。他在无数次证明失败之后，突发奇想，干脆假设第五公设不成立，进行了一些列的证明，最终也没有找到矛盾之处。老波埃伊是高斯的同学，他把儿子的成果寄给高斯，想不到高斯却回信道：“我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己。”原来，早在几十年前，高斯就做过同样的尝试，但他无法理解其中意义，也担心不被人理解，故而没有发表。得知自己想的和大名鼎鼎的数学王子高斯一样，在1832～1833年，波埃伊陆续发表了自己的研究结果。
高斯之所以为黎曼选择这个论题，就是想看看，这个千百年来让无数天才折戟成沙的高深问题，黎曼会有什么样的突破。可高斯万万没想到的是，为了出色地完成这个论题，黎曼竟然直接创造了一门全新的数学分支——非欧几何！
黎曼以“关于构成几何基础的假设”论文作了就职演讲，创立了黎曼几何学。欧几里得假设空间是平直的，这种平直的空间被称为欧几里得空间。但空间是否是平直的，这其实是未知的。假如空间是弯曲的，那么该怎么处理几何关系呢？黎曼认识到距离只是加到流形上的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼度量，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚。这样，就算空间是弯曲的，也能使用几何工具来进行演算。弯曲的黎曼空间就这样在数学上被创造出来，尽管当时的人不知道这意味着什么，但与会数学家们还是被黎曼高超的数学技巧所折服。高斯听完黎曼的演讲之后大为惊异，感到这个年轻人处理这个难题非常之好，他赞不绝口。黎曼的这篇论文被人们认为是19世纪数学史上的杰作之一。黎曼几何创立半个世纪，也没有什么实际应用，直到1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。
1857年，黎曼成为副教授。1857年对于黎曼来说是重要的一年，虽然之前的博士论文写的十分出色但是也只是得到了高斯的关注，没有引起什么大影响。而且之前的大多数学术演讲中的内容都太过超前而没有引起太大的反响。在1857年，他发表了一篇“阿贝尔函数理论”的论文，将阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论带到新的转折点并做系统的研究。其中对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度作了深入研究。创造了一系列对代数拓扑发展影响深远的概念，阐明了后来为G.罗赫所补足的黎曼-罗赫定理。这篇论文立刻被认为是重要贡献。一两年之后他的名字被欧洲所有数学家所知道。
1859年，高斯去世，黎曼接任数学教授一职。也就是这一年，黎曼发表的关于素数分布的论文《论小于某给定值的素数的个数》中，研究了黎曼ζ函数，给出了ζ函数的积分表示与它满足的函数方程，他指出素数的分布与黎曼ζ函数之间存在深刻联系。这一关联的核心就是J(x)的积分表达式。他在该论文中提出著名的黎曼猜想：黎曼ζ(s)函数的所有非平凡零点都位于临界线上。黎曼的这篇论文非常重要，美国数学家德比希尔在《素数之恋》对此评价道：“数学从此和以前完全不一样了！”
黎曼猜想是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。希尔伯特在1900年提出的二十三个问题的第八问题即黎曼猜想的证明。2000年，美国克雷数学研究所又将黎曼猜想列为千禧年七大难题之一，任何人只要解决这这七大难题之一即可获得一百万美元的奖金。
黎曼成为教授以后，生活渐渐改善，1862年，他与爱丽丝·科赫结婚。一年后，他的女儿出生在比萨。
但天妒英才，1866年7月20日，黎曼过早地离开了人世，也过早地离开了数学，终年仅40岁。
黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。他的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼空间，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，柯西-黎曼方程，黎曼思路回环矩阵中。在黎曼思想的影响下，数学许多分支取得了辉煌成就。