用两个量子比特生成EPR对

取出两个量子比特,均为 ∣ 0 ⟩ |0\rangle 0,然后进行如下操作:

步骤一:对第一个 ∣ 0 ⟩ |0\rangle 0进行 σ x \sigma_x σx变换
第一个量子比特变成 ∣ 1 ⟩ |1\rangle 1,如下所示
σ x ∣ 0 ⟩ = ( 0 1 1 0 ) ( 0 1 ) = ( 1 0 ) = ∣ 1 ⟩ \sigma_x |0\rangle= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} =|1\rangle σx0=(0110)(01)=(10)=1

步骤二:对第二个 ∣ 0 ⟩ |0\rangle 0进行Hadamard变换
第二个量子比特变成如下形式:
H ∣ 0 ⟩ = ( 1 2 1 2 ) H|0\rangle= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{pmatrix} H0=(2 12 1)

步骤三:对新得到的两个比特实行酉变换
定义如下酉矩阵
U = ( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ) U= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} U=1000001001000001
作用到新得到的两个比特上
U ( H ∣ 0 ⟩ ∣ 1 ⟩ ) = ( 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ) ( 0 1 ) ⊗ ( 1 2 1 2 ) = ( 1 2 0 0 1 2 ) U(H|0\rangle |1\rangle)= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0 \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{pmatrix} U(H01)=0010010010000001(01)(2 12 1)=2 1002 1

综上所述,对两个 ∣ 0 ⟩ |0\rangle 0 进行变换 U ( H ∣ 0 ⟩ σ x ∣ 0 ⟩ ) U(H|0\rangle \sigma_x|0\rangle) U(H0σx0) ,就可以得到EPR对 1 2 ( ∣ 01 ⟩ + ∣ 10 ⟩ ) \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle+|10\rangle) 2 1(01+10)

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