理解范畴论中单子需要的最小知识集

A monad is just a monoid in the category of endofunctors, what's the problem?

作为一个计算机工作者，这句话对你造成过多少点的装逼伤害？是时候弄明白这句话的意思了。

1. Category:

注意：

1. Category与集合不同，不只包括元素（objects），还包括了元素之上的态射（morphisms），态射的二元运算∘还需满足结合律（associativity），并且对identity的存在性有要求。

2. 给定Category C，C的元素ob(C)是一个类（class），类是比集合（set）大的一个概念，两者区别可以从罗素悖论（Russell paradox）进一步了解。如果不想分散注意力，暂时可以认为该类就是一个集合。

3. 二元运算是态射的运算，不是元素的

2. Functor

Functor是个范畴与范畴之间的映射（mapping）。可以看作是范畴间的同态（homomorphism），其特点是保留结构（structure-preserving）的，所谓结构保留体现在不只映射元素，同时映射态射。如下图所示：

根据范畴的定义，很自然的可以得出：

3. Endofunctor

A functor that maps a category to itself.

endofunctor的概念很简单，但是，是不是endofunctor就是identity functor呢？并不是，如果那样想，就是给endofunctor额外的限制了。试着看下图

再来一图

4. Natural transformations

一句话解释，自然变换(Natural Transformation)就是对于属于Category C的任意X，F（X）到G（X）之间态射的集合。注意F（X）与G（X）都属于Category D。类比于codomain，自然变换在"co-category"上。

5. Monad

Monad简单说就是1+2，1个endofunctor+2个natural transformations。

η的含义比较简单，根据定义，1c是identity functor，显然是一个特殊的endofunctor。根据自然变换的定义1c->T不能理解。

μ的含义需要先理解T∘T的意思，即对范畴进行两次mapping，不难得出T∘T依然是endofunctor。

看个图:

1. Monoid

2. The category of endofunctors

这个Category我们记作[C,C]，简单说，就是所有C->C的endofunctors构成的范畴，这个范畴的元素是endofunctors，态射是自然变换。注意，[C,C]是一个monoidal category，这个在网上可以找到证明，此处不赘述。

到此时，很容易发现，什么是monad的两种描述，本质上描述的是相同的东西。就是一个1+2（1个endofunctors，加2个特殊的自然变换）

注意

wiki上还有定义说monoid是一个满足特殊条件的 Set，那到底monoid是Set还是Endofunctor呢？我在另外一篇文章做了解释。