EM算法系列(五)-三硬币问题

整理自李航老师的《统计学习方法》一书

1、引言

概率模型有时既含有观测变量，又含有隐变量或潜在变量，如果概率模型的变量都是观测变量，那么给定数据，可以直接用极大似然估计法，或贝叶斯估计法估计模型参数，但是，当模型中含有隐变量时，就不能简单的使用这些方法。EM算法就是含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计法，或极大后验概率估计法。

2、三硬币模型描述

三硬币问题是这样的：
假设有三枚硬币，分别记为A、B、C。这些硬币正面的概率分别为π，p，q，进行如下的抛硬币实验：先掷硬币A，根据其结果选出硬币B或者硬币C，正面选硬币B，反面选硬币C，然后掷选出的硬币，掷硬币的记过，出现正面记作1，出现反面记作0，独立地重复n次实验（这里n=10），然后观测结果如下：

1，1，0，1，0，0，1，0，1，1

假设只能观测到掷硬币的结果，不能观测掷硬币的过程，问如何估计三硬币正面出现的概率，即三硬币模型的参数π，p，q。

3、三硬币问题表示

三硬币模型可以写作：

这里随机变量y是观测变量，表示一次实验观测的结果是1或0，随机变量z是隐变量，表示未观测到的掷硬币A的结果，θ=（π，p，q）是模型参数，这一模型是以上数据的生成模型。再提醒一次，随机变量y的数据可以观测，随机变量z的数据不可观测。上式的意思即在θ的前提下出现y的概率等于在θ的前提下y和z的联合分布中y的边缘分布。

将观测数据表示为Y，未观测数据表示为Z，则观测数据的似然函数是：

在该问题中，似然函数展开为

考虑求模型参数θ=（π，p，q）的极大似然估计，即：

这个问题没有解析解，只有通过迭代方法求解，EM算法就是可以用于求解这个问题的一个迭代算法，下面给出求解这个问题的EM算法过程。

4、EM算法求解三硬币模型

EM算法首先选取参数的初值，然后通过下面的步骤迭代计算参数的估计址，直到收敛为止。EM算的第i+1次迭代过程如下：

我们带入具体的数值：

选取不同的初值，最后得到的收敛结果可能是不一样的，不信你可以试一下。

5、EM算法步骤

一般的，用Y表示观测随机变量的数据，Z表示隐随机变量的数据，Y和Z连在一起称为完全数据，只有观测数据Y称为不完全数据，假设给定观测数据Y，其概率分布为P(Y|θ),那么不完全数据的似然函数就是P(Y|θ)，对数似然函数是L(θ) = log(P(Y|θ))，假设Y和Z的联合概率分布是P(Y,Z|θ),那么完全数据的对数似然函数是logP(Y,Z|θ)。

EM算法通过迭代求L(θ) = log(P(Y|θ))的极大似然估计，每次迭代包括两步：E步，求期望，M步，求最大化，下面介绍EM算法的步骤：