区块链 - 比特币加密算法之椭圆曲线

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椭圆曲线

认识椭圆曲线

椭圆曲线上点的加法

椭圆曲线上点的数乘

有限域的椭圆曲线

模运算 (mod)

同余

有限域

有限域椭圆曲线

有限域椭圆曲线上的直线

有限域椭圆曲线的代数加法

Secp256k1

 secp256k1曲线上点运算性质

椭圆曲线为什么不可逆

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讨论比特币的加密算法，椭圆曲线始终是绕不开的坑。以下笔记是观看比特币加密教程总结而成，图片来源于网络。

ECDSA算法

     椭圆曲线乘法（又称为ECDSA）是密码学重要的非对称加密算法，同时在比特币系统中，私钥的生成使用的也是ECDSA算法。比特币使用了secp256k1标准定义的一条特殊的椭圆曲线和一系列数学常数

椭圆曲线

认识椭圆曲线

 

椭圆曲线不是一个椭圆，而是满足上图方程的x、y点的连续集合。解读一下该方程

1、x、y 是两个实数

2、a、b是两个常量，并且满足 4a² - 27b³ ≠ 0

3、满足 y² = x³ + ax + b

4、包含无穷远点 ，我们定义无穷远点即是0

注意：

1、椭圆曲线不是一条线，而是一群，不同的a、b取值，呈现不同的曲线，如上图。比特币使用的曲线是secp256k1

2、曲线上任意两点P、Q连接成直线，一定且只能与该曲线相交于第三点 -R

3、曲线不一定关于x轴对称

椭圆曲线上点的加法

 

注意：我们这里讨论的加法是几何学的加法，不要与代数学加法混淆。

简单来说 一条直线与椭圆曲线相交于3个点，分别为 P、Q、-R  , 则有 P + Q = -R     推导出        P + Q + R= 0;

这里我们将分情况讨论：

1、假设 Q = 0 即 Q在无穷远处 ，是无穷远点 ， 则 P + Q = P + 0 = P

2、假设 两点关于X轴对称，如上图 R 、-R  ， 则 R + （-R） = 0 ； 怎么理解？ R 与 -R 连接成直线 ， 与Y轴平行，与椭圆曲线相交于无穷远点 ， 也就是 0

3、假设 P != Q , PQ直线与椭圆曲线相交于 -R 点 ， 则 P + Q  = R ; 怎么理解？ P、Q、-R 三点的直线，与椭圆曲线相交于无穷远 ， 即 P + Q + （-R） = 0  => P + Q = R

4、假设 P = Q ，过P点的切线 ， 与椭圆曲线相交于 -R点 ， 则 P + Q = -R  => 2P = -R

椭圆曲线上点的数乘

现在，假设曲线上的点G , 我们要求 曲线上的点 N = 8 * G ， 我们可以按照加法来做 ， 即 N = 8 * G = G + G + G + G + G + G + G + G ; 但是有个问题 ，  如果不是求8G  , 而是8000G 、 80000G呢 ， 这个计算量是非常大的 ， 所以我们可以采用 “倍乘法”  ， 如下图：

 

 

 倍乘法的流程如下：

1、 过 G点做切线 ， 与椭圆曲线相交的点即为 -2G , -2G = G + G

2、 -2G点 上下翻转 ， 得到 2G交点

3、过 2G点做切线 ， 可以计算获得 -4G =  -2G + -2G

4、-4G点 上下翻转 ， 得到 4G交点

5、依次类推......

有限域的椭圆曲线

椭圆曲线 ， 是连续的曲线 ， 其上所有的点都是实数（有小数） ， 但计算机的精度误差，保留小数是有限制的，明文经过加密解密后会出现偏差，得不到原来的明文。 因此 ， 我们需要一群离散的整数点 ，来满足加密的要求 。 这便是我们下面要将的有限域椭圆曲线。

如何得到有限域曲线呢 ， 我们需要先了解一下几个概念：模运算、同余、有限域

• 模运算 (mod)

简单来讲就是求商取余，比如：

        5 除以 3 等于 1 ，余数 =2  ， 我们可以表示为 5 mod 3 = 2 , 这就是模运算。

我们整理一个通用的公示  a mod b = r ，模运算有以下特性 ：

      （a + b）  mod c  =   { （a mod c） +  （b mod c）} mod  c 

      （a * b）  mod c  =   { （a mod c） *  （b mod c）} mod  c

      （a^b ）  mod c   =   ( a mod c )^b   mod c

• 同余

        a、b两个数 除以 c  , 所得余数相同 即是同余 , 我们可以表示为：   a mod c  =  b mod  c   或者  a    b （ mod c）

        假如  k  ∈  Z ( k属于整数 ), a   b (mod c)  <==>  ka   kb (mod c)

比如  k =3   , 2  6 (mod 4)  , name  3*2    3 * 6 (mod 4)

• 有限域

       顾名思义就是有限的元素集合 ， 比如 Z mod 7 = {1，2，3，4，5，6} ， 这就是一个有限域

• 有限域椭圆曲线

根据椭圆曲线公式 ， y² = x³ + ax + b  ， 令 a = -7  , b = 10 ，

确定后的椭圆曲线公式 ，  y² = x³  - 7x + 10

那么， 我们如何设定有限域 ？ 如何只取整数的点呢 ？ 如何使曲线离散呢 ？  我们只需要这样  

1、Fp中有p（p为质数）个元素0,1,2,…, p-2,p-1

2、x 、y  ∈ Fp

3、y² = x³  - 7x + 10  （mod p）

 当p 取不同值时 p = 19，97,127,487， 离散后的图如下，可见p的值越大 ， 离散的点越多 

 

是不是不太明白 ， 为啥 mod p 就离散了 ， 不连续了呢 ？ 我们换一个简单的公式来解释一下 ， 假设 x、y ∈ {1，2，3，4，5，6}  , p =3

 

• 有限域椭圆曲线上的直线

有限域上满足方程式的 （x,y）点 ， 全部离散了 ， 已经无法连成一条椭圆曲线了，也就无法用一条直线连接曲线上的3个点了，那么我们如何做加法？ 如何做数乘呢？

显然，我们需要对加法的定义稍作更改，以使其在 Fp。对于实数，我们说三个对齐点的总和为零（P+Q+R=0）。我们可以保留这个定义，但是在Fp中将三个点对齐是什么意思？

我们可以说，如果有一条直线将所有三个点连接在一起，那么这三个点是对齐的。但是，Fp 与 R是不同的。Fp 是点集 （x，ÿ） 满足方程式 ax+bÿ+c≡0（mod p） （这是标准线式，加上“（mod p）”）。

• 有限域椭圆曲线的代数加法

未完待续。。。。 

Secp256k1

 secp256k1曲线上点运算性质

椭圆曲线为什么不可逆