数据结构 - 二叉树简介

在《大话数据结构》一中有这样一段话“无论多高大的树，那也是从小到大的，由根到叶，一点点成长起来的，俗话说十年树木，百年树人，可一棵大树又何止十年这样容易”。所以了解二叉树的算法，必先了解树的基本概念。

1.树的基本概念

① 节点、根节点、父节点、子节点、兄弟节点
② 一棵树可以没有任何节点，成为空树
③ 一棵树可以只有1个节点，也就是只有根节点
④ 子树、左子树、右子树
⑤ 节点的度(degree)：子树的个数
⑥ 树的度：所有节点度中的最大值
⑦ 叶子节点(leaf): 度为0的节点
⑧ 非叶子节点：度不为0的节点

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2.树的深度

① 层数(level)：根节点在第1层，根节点的子节点在第2层。
② 节点的深度(depth): 从根节点到当前节点的唯一路径上的及节点总数。
③ 节点的高度(height)：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数。
④ 树的深度：所有节点深度中的最大值。
⑤ 树的高度：左右节点高中中的最大值
⑥ 树的深度等于树的高度。

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3.二叉树(Binary Tree)

二叉树的特点
1.每个节点的度最大为2(最多拥有2棵子树)
2.左子树和右子树是有顺序的
3.即使某节点只有一颗子树，也要区分左右子树。

二叉树具有五种基本形态：
1.空二叉树。
2.只有一个根节点
3.根节点只有左子树
4.根节点只有右子树
5.根节点既有左子树又有右子树。

所以，二叉树是有序树

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3-1.二叉搜索(Binary Search Tree)

二叉搜索树是二叉树的一种，是应用非常广泛的一种二叉树，又被成为：儿茶查找树，二叉排序树。

二叉搜索树的特点：
1.任意一个节点的值都大于其左子树所有节点的值。
2.任意一个节点的值都小于其右子树所有节点的值。
3.它的左右子树也是一棵二叉搜索树。

二叉搜索树的作用：
二叉搜索书可以大大提高搜索数据的效率
二叉搜索存储的元素必须具备可比较性
(1). 比如Int、double等
(2). 如果是自定义类型，需要制定比较方式
(3). 不允许为null

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3-2.真二叉树(Proper Binary Tree)

真二叉树：所有节点的度要么为0，要么为2。

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3-3. 满二叉树(Full Binary Tree)

满二叉树：最后一层节点的度都为0，其他节点的度都为2.
在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多，总结点数量最多。
满二叉树一定是真二叉树，真二叉树树不一定是满二叉树。

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3-4.完全叉树(Complete Binary Tree)

对完全二叉树：对节点从上至下、左至右开始编号，其所有编号都能与相同高度的满二叉树种的编号对应。

叶子节点指挥出现在最后2层，最后1层的叶子节点都靠左对齐。

完全二叉树从根节点至倒数第2层是一颗满二叉树。
满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

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4.二叉树的遍历

二叉树的产检遍历有4中方法：

● 前序遍历(Preorder Traversal)

● 中序遍历(Inorder Traversal)

● 后序遍历(Postorder Traversal)

● 层序遍历(Level Order Traversal)

4-1.前序遍历(Preorder Traversal)

访问顺序
根节点、前序遍历左子树、前序遍历右子树
7, 4 ,2 , 1, 3 , 5 , 9, 8 , 11 , 10 ,12

前序遍历.png

前序遍历核心代码：(递归思想)

    /**
     * 前序遍历
     */
    public void preorderTraversal() {
        preorderTraversal(root);
    }
    
    private void preorderTraversal(Node node) {
        if (node == null) return;
        
          System.out.println(node.element);
        preorderTraversal(node.left);
        preorderTraversal(node.right);
    }

4-2 中序遍历(Inorder Traversal)

访问顺序
中序遍历左子树、根节点，中序遍历右子树
1, 2 ,3 , 4, 5 , 7 , 8, 9 , 10 , 11 ,12

中序遍历.png

中序遍历核心代码：(递归思想)

    /**
     * 中序遍历
     */
    public void inorderTraversal() {
        inorderTraversal(root);
    }
    
    private void inorderTraversal(Node node) {
        if (node == null) return;
        
        inorderTraversal(node.left);
         System.out.println(node.element);
        inorderTraversal(node.right);
    }

4-3 后序遍历(Postorder Traversal)

访问顺序
后序遍历左子树、后序遍历右子树、根节点
1, 3 ,2 , 5, 4 , 8 , 10 , 12 ,11, 9 , 7

后序遍历.png

后序遍历核心代码：(递归思想)

    /**
     * 后序遍历
     */
    public void postorderTraversal() {
        postorderTraversal(root);
    }
    
    private void postorderTraversal(Node node) {
        if (node == null) return;

        postorderTraversal(node.left);
        postorderTraversal(node.right);
         System.out.println(node.element);
    }

4-4 层序遍历(Level Order Traversal)

访问顺序
从上到下，从左到右依次访问每一个节点
7, 4 ,9 , 2, 5 , 8, 11 , 1 , 3 ,10 , 12

层序遍历.png

层序遍历核心代码：(队列思想)

◼ 实现思路

1. 将根节点入队
2. 循环执行以下操作，直到队列为空
   ◼将队头节点 A 出队，进行访问
   ◼将 A 的左子节点入队
   ◼将 A 的右子节点入队

    /**
     * 层序遍历
     */
    public void levelOrderTraversal() {
        if (root == null) return;
        // 创建队列
        Queue> queue = new LinkedList<>();
        // 将根节点入队
        queue.offer(root);

        while (!queue.isEmpty()) {
            // 头节点出队
            Node node = queue.poll();
            
            if (node.left != null) {
                //左节点入队
                queue.offer(node.left);
            }
            
            if (node.right != null) {
                //右节点入队
                queue.offer(node.right);
            }
        }
    }

以上是关于二叉树基本概念的学习，记录一下，方便自己日后查阅。

其它相关：
二叉搜索树(Binary Search Tree).
AVL树(艾薇儿树).