八皇后问题 -- 递归，回溯算法

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。 高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。计算机发明后，有多种计算机语言可以解决此问题。

一.分析

  基本思路如上面分析一致，我们采用逐步试探的方式，先从一个方向往前走，能进则进，不能进则退，尝试另外的路径。首先我们来分析一下国际象棋的规则，这些规则能够限制我们的前进，也就是我们前进途中的障碍物。一个皇后q(x,y)能被满足以下条件的皇后q(row,col)吃掉

1）x=row(在纵向不能有两个皇后)

2)  y=col（横向）

3）col + row = y+x;（斜向正方向）

4)  col - row = y-x;（斜向反方向）

遇到上述问题之一的时候，说明我们已经遇到了障碍，不能继续向前了。我们需要退回来，尝试其他路径。

我们将棋盘看作是一个8*8的数组，这样可以使用一种蛮干的思路去解决这个问题，这样我们就是在8*8=64个格子中取出8个的组合，C(64,80) = 4426165368,显然这个数非常大，在蛮干的基础上我们可以增加回溯，从第0列开始，我们逐列进行，从第0行到第7行找到一个不受任何已经现有皇后攻击的位置，而第五列，我们会发现找不到皇后的安全位置了，前面四列的摆放如下:

第五列的时候，摆放任何行都会上图所示已经存在的皇后的攻击，这时候我们认为我们撞了南墙了，是回头的时候了，我们后退一列，将原来摆放在第四列的皇后（3，4）拿走，从（3，4）这个位置开始，我们再第四列中寻找下一个安全位置为（7，4），再继续到第五列，发现第五列仍然没有安全位置，回溯到第四列，此时第四列也是一个死胡同了，我们再回溯到第三列，这样前进几步，回退一步，最终直到在第8列上找到一个安全位置（成功）或者第一列已经是死胡同，但是第8列仍然没有找到安全位置为止

总结一下，用回溯的方法解决8皇后问题的步骤为：

1）从第一列开始，为皇后找到安全位置，然后跳到下一列

2）如果在第n列出现死胡同，如果该列为第一列，棋局失败，否则后退到上一列，在进行回溯

3）如果在第8列上找到了安全位置，则棋局成功。

8个皇后都找到了安全位置代表棋局的成功，用一个长度为8的整数数组queenList代表成功摆放的8个皇后，数组索引代表棋盘的col向量，而数组的值为棋盘的row向

量，所以(row,col)的皇后可以表示为(queenList[col],col),如上图中的几个皇后可表示为：

queenList[0] = 0;  queenList[1] = 3;   queenList[2] = 1;  queenList[3] = 4;   queenList = 2;

二。算法分析

gEightQueen[8]  为每个皇后的位置 ， 这里写算法就把它设为A[8]

EightQueen(index)     # 查找道歉位置皇后的可能值  

       A [ index ] ---> (0,7) 

                check_pos_valid( index , A [ index ])

                      OK :    A [ index ]  =   index

  index == 7         # 这里代表已经是找到了第八个皇后的位置

                               输出数组的值。

                               return

               EightQueen(index + 1)   #   查找下一个皇后的可能的位置

               A [ index ]  = 0           
 

整个过程，相当的巧妙。

问题算法

C++

#include
using namespace std;
static int gEightQueen[8] = { 0 }, gCount = 0;
void print()//输出每一种情况下棋盘中皇后的摆放情况
{
    for (int i = 0; i < 8; i++)
    {   
        int inner;
        for (inner = 0; inner < gEightQueen[i]; inner++)
            cout << " ";
        for (inner = gEightQueen[i] + 1; inner < 8; inner++)
            cout << "";
        cout <<"#" << endl;
    }
    cout << "==========================\n";
}
int check_pos_valid(int loop, int value)//检查是否存在有多个皇后在同一行/列/对角线的情况
{
    int index;
    int data;
    for (index = 0; index < loop; index++)
    {
        data = gEightQueen[index];
        if (value == data)
            return 0;
        if ((index + data) == (loop + value))
            return 0;
        if ((index - data) == (loop - value))
            return 0;
    }
    return 1;
}
void eight_queen(int index)
{
    int value;
    for (value = 0; value < 8; value++)
    {
        if (check_pos_valid(index, value))
        {
            gEightQueen[index] = value;
            if (7 == index)
            {
                gCount++, print();
                gEightQueen[index] = 0;
                return;
            }
            eight_queen(index + 1);
            gEightQueen[index] = 0;
        }
    }
}
int main(int argc, char*argv[])
{
    eight_queen(0);
    cout << "total=" << gCount << endl;
return 0;
}