＜算法导论＞练习4.2

4.2-1
就是代入书中的式子计算一下，令
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 5\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 4& 2\end{array}\right]$$
$S_1=B_{12}-B_{22}=8-2=6$
同理，S2=4，S3=12，S4=-2，S5=6，S6=8，S7=-2，S8=6，S9=-6，S10=14
再代入P的计算公式：
$P_1=A_{11}\ast S_1=1\ast 6=6$
同理可得P2=8,P3=72,P4,=-10,P5=48,P6=-12,P7=-84
代入计算C的公式：
$C_{11}=P_5+P_4-P_2+P_6=18$
$C_{12}=14,C_{21}=62,C_{22}=66$
这就是结果了。

4.2-2

伪代码如下所示：

Strassen(A,B):
	n=A.rows
	let C be a new n*n matrix
	let P be a new 1*7 matrix
	let S be a new 1*10 matrix
	if n==1:
		return A[1,1]*B[1,1]
	else:
		partion A,B and C as in equations(4.9)
		S[1]=B[1,2]-B[2,2]
		...
		S[10]=B[1,1]+B[1,2]
		P[1]=Strassen(A[1,1],S[1])
		...
		P[7]=Strassen(S[9],S[10])
		C11=P5+P4-P2+P6
		C12=P1+P2
		C21=P3+P4
		C22=P5+P1-P3-P7
	return C

4.2-3
通过补0的方式将其扩展为n*n即可，strassen的算法时间复杂度就是$\Theta (n^{lg7})$。

4.2-4

题目意思是（4.9）不再按$n/2\ast n/2$这样来分矩阵，而是按照$n=3^m$次幂，分成的子矩阵为$n/3\ast n/3$,按照式（4.17）可以写出这样分的递归式为：
$$T(n)=k\ast T(n/3)+\Theta (n^2)$$
用主方法解上述递归式为：$\Theta (n^{{\log }_{3}k})$,接下来解出满足如下方程的k即可：
$${\log }_{3}k<{\log }_{2}7$$
解得k=21

4.2-5
由4.2-4中的递归式可知，时间复杂度为$\Theta (n^{{\log }_{x}y})$其中x是矩阵的维度，y是运算乘法次数，那么对于每种方法代入x和y可以计算他们的时间复杂：
$${\log }_{68}132464,{\log }_{70}143640,{\log }_{72}155424$$

4.2-6
原本两个复数的乘法计算需要四次实数乘法，通过类似strassen算法的思想，通过线性组合的方式可以减少一次乘法：
令$A=(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
A式中只有中间那项带括号的乘法是真正需要计算的，右边的那项只是说明A式与原始数据的关系。
$B=ac,C=bd$ 均只需要一次乘法计算
最后的结果为：
$$(B-C)+(A-B-C)i$$