四种方法求最大公约数(Python)

一、最大公约数
二、解题思路
1、暴力枚举法
2、辗转相除法
3、更相减损术
4、更相减损术与移位相结合

一、最大公约数

题目：写一段代码，求出两个整数的最大公约数，要尽量优化算法性能。

在这里补充一下：最大公约数和最小公倍数与原数据a,b存在运算关系，假设a,b的最大公约数是x，最小公倍数是y，则有ab=xy，所以最大公约数和最小公倍数知道一个就可以求出另一个。

二、解题思路

1、暴力枚举法

从较小整数的一半开始，试图找到一个合适的整数i，看这个数能否被a，b同时整除。
它的时间复杂度为O(min(a,b))
缺点：暴力枚举法效率比较低，当我传入的整数是10000和10001时，这种方法要比较10000/2-1=4999次。

暴力枚举法的代码实现：

def get_greatest_common_divisor(a,b):
    big=max(a,b)
    small=min(a,b)
    if big%small==0:
        return small
    for i in range(small//2,1,-1):
        if small%i==0 and big%i==0:
            return i
    return 1

print(get_greatest_common_divisor(26,13))

2、辗转相除法

辗转相除法，又名欧几里得算法，该算法的目的是求出两个数的最大公约数。
它源于一个定理：
两个正整数a和b(a>b)，它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。(即：每次都是求余数和较小数之间最大公约数，直到两个数可以整除或者其中一个数减小到1为止。)
辗转相除法的时间复杂度不太好计算，可以近似为O(log(max(a,b)))，但是取模运算的性能比较差。
缺点：辗转相除法中，当两个整数比较大时，做a%b取模运算的性能会比较差。

辗转相除法的代码实现

def get_greatest_common_divisor_V2(a,b):
    big=max(a,b)
    small=min(a,b)
    if big%small==0:
        return small
    return get_greatest_common_divisor_V2(big%small,small)

print(get_greatest_common_divisor_V2(26,13))

3、更相减损术

更相减损术也源于一个定理：
两个正整数a和b(a>b)，它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b之间的最大公约数。(即：每次都是求差值和较小数之间最大公约数，直到两个数相等为止，最大公约数就是最终相等的这两个数的值。)

更相减损术避免了取模运算，但是算法性能不稳定，最坏时间复杂度为O(max(a,b))
缺点：更相减损术是不稳定的算法，当两数相差悬殊时，如计算10000和1的最大公约数，就要递归9999次。运算次数太多，

更相减损术代码实现：

def get_greatest_common_divisor_V3(a,b):
    if a==b:
        return a
    big = max(a, b)
    small = min(a, b)
    return get_greatest_common_divisor_V3(big-small,small)

print(get_greatest_common_divisor_V3(26,13))

4、更相减损术与移位相结合

根据前面介绍，我们发现，有没有一种方法既可以避免大整数取模，又能尽可能的减少运算次数呢？
接下来介绍一种最优的方法：把辗转相除法和更相减损术结合起来，在更相减损术的基础上使用移位运算。（移位运算差不多是辗转相除法的运用，不过是遇到偶数时，每次向右移一位，对于整数十进制来说，相当于除以2）
移位运算的性能非常好。
接下来介绍具体方法：
求最大公约数的方法简写为gcd.
当a、b均为偶数时，gcd(a,b)=2gcd(a/2,b/2)=2gcd(a>>1,b>>1)=gcd(a>>1,b>>1)<<1
当a为偶数b为奇数时，gcd(a,b)=gcd(a/2,b)=gcd(a>>1,b)
当a为奇数b为偶数时，gcd(a,b)=gcd(a,b/2)=gcd(a,b>>1)
当a、b均为奇数时，先利用更相减损术减一次，gcd(a,b)=gcd(a-b,b),此时a-b必为偶数，然后又可以继续进行移位运算。
这种方法在两数都比较小时，看不出来计算的优势；当两数越大时，计算次数的减少就会越明显。这种方法既避免大整数取模，又减少了运算次数，而且算法性能稳定，时间复杂度为O(log(max(a,b)))

代码实现

def get_greatest_common_divisor_V4(a,b):
    if a==b:
        return a
    if (a&1)==0 and (b&1)==0:
        return get_greatest_common_divisor_V4(a>>1,b>>1)<<1
    elif (a & 1) == 0 and (b & 1) != 0:
        return get_greatest_common_divisor_V4(a>>1,b)
    elif (a & 1) != 0 and (b & 1) == 0:
        return get_greatest_common_divisor_V4(a,b>>1)
    else:
        big=max(a,b)
        small=min(a,b)
        return get_greatest_common_divisor_V4(big-small,small)

print(get_greatest_common_divisor_V4(26,13))

在上述代码中，判断奇偶性的方式是让整数和1做与运算，如果(a&1)==0，则说明a是偶数，反之a是奇数。具体原因可以把a转化成二进制，再进行与运算，就会明白。