哈希讲解-And-洛谷-P3370 【模板】字符串哈希-题解

哈希思想

说一下我对哈希算法的理解

当你要比较一些数据量很大的东西时，普通的比较可能会消耗大量的时间。
比如要看一个超高像素的图片是否在一个图集中，而这个图片有$10亿$像素，图集中有$1万$张图片。那么普通方法比较一张图片就需要比较$10亿$个像素点，$10^9$级；和这$1万$张图片分别比较，又需要比较$10^4$次，总计算量是$10^{13}$级别，普通计算机按一秒$1亿$次的算力来计算，需要$10^5秒\approx 27.8小时$才能得到结果。
（纯瞎说）
然而如果把图片映射成哈希值，比较两张图片的复杂度就变成了$O(1)$，只需要$10^5$级别即可得到答案（使用特殊方法还能优化），是毫秒级别。

总之，哈希思想就是把数据量很大的一个数据，映射成一个数值，而数值之间的比较是$O(1)$级别的，就能快速比较出结果来。

那么如何把一些数据给映射成一个数呢？我们先从一维数组说起：
一维数组出现的地方很多，可能是一些数，也可能是一个字符串。
先简单一点，如果确定了数组的最大长度是17，数组中每个数的范围是0 ~ 9，比如：

数组名	元素
A	1,5,6,9,8,4,0,5,6,8,4,5,6,9,8,7,4
B	5,9,8,4,7,0,2,5,6,9,4,5,6,9,8,4,5
C	1,5,6,9,8,4,0,5,6,8,4,5,6,9,8,7,4

如果我们要用普通的方法比较，大概需要：

bool ifSame(int A[], int la, int B[], int lb)
{
     
	if(la != lb)return false;
	for(int i = 0; i < la; i ++)
	{
     
		if(A[i] != B[i])return false;
	}
	return true;
}

这样每比较两个数组，就需要比较大约$17$次。
但是如果我们把数组转换成一个unsigned long long的数：

数组名	元素	哈希值
A	1,5,6,9,8,4,0,5,6,8,4,5,6,9,8,7,4	15698405684569874
B	5,9,8,4,7,0,2,5,6,9,4,5,6,9,8,4,5	59847025694569845
C	1,5,6,9,8,4,0,5,6,8,4,5,6,9,8,7,4	15698405684569874

就可以写成：

typedef unsigned long long ull;
bool ifSame(ull hashA, ull hashB)
{
     
	return hashA == hashB;
}

比较两个数组，$O(1)$的复杂度就实现了。
其中由数组映射成哈希值的函数是：

ull Hash(int A[], int la)
{
     
	int p=10;//其实是10进制
	ull ans=0;
	for(int i=0;i<la;i++)
	{
     
		ans=ans*p+A[i];
	}
	return ans;
}

上面我们是把每个数以十进制的形式，把一个数组映射成了一个数。

其实，真正使用哈希算法的时候，我们一般不以10为进制，而经常以131为进制。为什么呢？我记得是《算法竞赛指南》上给的：以131、1331为进制的话，冲突的概率最低。 （好玄学） 大概是经过多次尝试，统计出来的。

这就涉及到为什么会产生冲突，以及如何以131为进制。

• 如何以131为进制：

  其实很简单，把10进制时公式的10换成131就行了。
  ans=ans*p+A[i];//其中p=131。
  如果超出unsigned long long的范围了怎么办？大概有两种方法：

  • 一种是不用管，因为unsigned long long溢出相当于自动对$2^{64}$取模。
  • 另一种是手动取模，尽量找一个素数来模，每次手动%mod。（其中mod是你定义的模值）

• 为何会产生冲突：

  其实也不难理解。你想啊，把很多数据映射到一个数，如果还不会冲突的话，那不就是无损超级压缩了么。很多数据映射到一个数，有可能不用的数据映射到的数是相同的，这就产生了冲突。
  要避免冲突还有一种办法：

  • 就是不只计算一个哈希值，而是选取两个数作为进制，分别计算两种进制下的哈希值。比较两堆数据时，只有两个哈希都相同，我们才认为这两堆数据是相同的。这样冲突的概率又会小很多。

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暂且认为讲得差不多了，不如根据一道板子题来实战一下：

洛谷-P3370 【模板】字符串哈希

Time Limit: 500ms
Memory Limit: 125M
传送门

Description

如题，给定 $N$ 个字符串（第 $i$ 个字符串长度为 $M_i$，字符串内包含数字、大小写字母，大小写敏感），请求出 $N$ 个字符串中共有多少个不同的字符串。

#友情提醒：如果真的想好好练习哈希的话，请自觉，否则请右转PJ试炼场:)

Input

第一行包含一个整数 $N$，为字符串的个数。

接下来 $N$ 行每行包含一个字符串，为所提供的字符串。

Output

输出包含一行，包含一个整数，为不同的字符串个数。

Sample Input

5
abc
aaaa
abc
abcc
12345

Sample Output

4

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题目大意

给你一些字符串，问给你的字符串共有几种（去重）。
这题不适用哈希也能过，但是不要为了过题而做题，请自觉尝试使用哈希的方法通过这道题。

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解题思路

我们可以把每个字符串映射成一个unsigned long long的数，之后字符串比较起来就是$O(1)$的复杂度了。

AC代码

#include 
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const ull mod=100001651;//这是一个素数，本代码采用手动取模的方法，非自然溢出取模
int base=131;//131进制
ull a[10010];//a[i]初始存字符串i的哈希
ull Hash(string &s)//返回字符串s的哈希值
{
     
    ull ans=0;//初始值是0
    int l=s.size();
    for(int i=0;i<l;i++)
    {
     
        ans*=base;//×进制
        ans+=s[i];//+此位
        ans%=mod;//手动取模
    }
    return ans;
}
int main()
{
     
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
     
        string s;
        cin>>s;
        a[i]=Hash(s);//记录s的哈希值
    }
    sort(a,a+n);//排序
    int ans=1;
    for(int i=1;i<n;i++)
        if(a[i]!=a[i-1])//和上一个字符串的哈希不同
            ans++;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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勇士，要挑战一下二维哈希吗

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