- 用来求图中所有点对之间的最短路径
- Dijkstra算法是求单源最短路径的,那如果求图中所有点对的最短路径的话则有以下两种解法:
- 解法一:
以图中的每个顶点作为源点,调用Dijkstra算法,时间复杂度为O(n3); - 解法二:
Floyd(弗洛伊德算法)更简洁,算法复杂度仍为O(n3)。
- 解法一:
- 正如大多数教材中所讲到的,求单源点无负边最短路径用Dijkstra,而求所有点最短路径用Floyd。确实,我们将用到Floyd算法,但是,并不是说所有情况下Floyd都是最佳选择。
- 对于没有学过Floyd的人来说,在掌握了Dijkstra之后遇到All-Pairs最短路径问题的第一反应可能会是:计算所有点的单源点最短路径,不就可以得到所有点的最短路径了吗。简单得描述一下算法就是执行n次Dijkstra算法。
- Floyd可以说是Warshall算法的扩展了,三个for循环便可以解决一个复杂的问题,应该说是十分经典的。从它的三层循环可以看出,它的复杂度是n3,除了在第二层for中加点判断可以略微提高效率,几乎没有其他办法再减少它的复杂度。
- 比较两种算法,不难得出以下的结论:对于稀疏的图,采用n次Dijkstra比较出色,对于茂密的图,可以使用Floyd算法。另外,Floyd可以处理带负边的图。
下面对Floyd算法进行介绍:
- Floyd算法的基本思想:
可以将问题分解:
第一、先找出最短的距离
第二、然后在考虑如何找出对应的行进路线。
如何找出最短路径呢,这里还是用到动态规划的知识,对于任何一个城市而言,i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间经过k和不经过k两种可能,所以可以令k=1,2,3,...,n(n是城市的数目),在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值;在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离,因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以,若有d(ij)>d(ik)+d(kj),就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短,自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj),每当一个k查完了,d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程,最后当查完所有的k时,d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。
Floyd算法的基本步骤:
定义n×n的方阵序列D-1, D0 , … Dn-1,
-
初始化: D-1=C
- D-1[i][j]=边的长度,表示初始的从i到j的最短路径长度,即它是从i到j的中间不经过其他中间点的最短路径。
-
迭代:设Dk-1已求出,如何得到Dk(0≤k≤n-1)?
- Dk-1[i][j]表示从i到j的中间点不大于k-1的最短路径p:i…j,
- 考虑将顶点k加入路径p得到顶点序列q:i…k…j,
- 若q不是路径,则当前的最短路径仍是上一步结果:Dk[i][j]= Dk-1[i][j];
- 否则若q的长度小于p的长度,则用q取代p作为从i到j的最短路径
因为q的两条子路径i…k和k…j皆是中间点不大于k-1的最短路径,所以从i到j中间点不大于k的最短路径长度为:
Dk[i][j]=min{ Dk-1[i][j], Dk-1[i][k] +Dk-1[k][j] }
Floyd算法实现:
可以用三个for循环把问题搞定了,但是有一个问题需要注意,那就是for循环的嵌套的顺序:我们可能随手就会写出这样的程序,但是仔细考虑的话,会发现是有问题的。
for(int i=0; ifor(int j=0; j for(int k=0; k 问题出在我们太早的把i-k-j的距离确定下来了,假设一旦找到了i-p-j最短的距离后,i到j就相当处理完了,以后不会在改变了,一旦以后有使i到j的更短的距离时也不能再去更新了,所以结果一定是不对的。所以应当象下面一样来写程序:
for(int k=0; kfor(int i=0; i for(int j=0; j 这样做的意义在于固定了k,把所有i到j而经过k的距离找出来,然后象开头所提到的那样进行比较和重写,因为k是在最外层的,所以会把所有的i到j都处理完后,才会移动到下一个k,这样就不会有问题了,看来多层循环的时候,我们一定要当心,否则很容易就弄错了。
路径查找
- 接下来就要看一看如何找出最短路径所行经的城市了,这里要用到另一个矩阵P,它的定义是这样的:p(ij)的值如果为p,就表示i到j的最短行经为i->...->p->j,也就是说p是i到j的最短行径中的j之前的最后一个城市。P矩阵的初值为p(ij)=i。有了这个矩阵之后,要找最短路径就轻而易举了。对于i到j而言找出p(ij),令为p,就知道了路径i->...->p->j;再去找p(ip),如果值为q,i到p的最短路径为i->...->q->p;再去找p(iq),如果值为r,i到q的最短路径为i->...->r->q;所以一再反复,到了某个p(it)的值为i时,就表示i到t的最短路径为i->t,就会的到答案了,i到j的最短行径为i->t->...->q->p->j。因为上述的算法是从终点到起点的顺序找出来的,所以输出的时候要把它倒过来。
- 但是,如何动态的回填P矩阵的值呢?回想一下,当d(ij)>d(ik)+d(kj)时,就要让i到j的最短路径改为走i->...->k->...->j这一条路,但是d(kj)的值是已知的,换句话说,就是k->...->j这条路是已知的,所以k->...->j这条路上j的上一个城市(即p(kj))也是已知的,当然,因为要改走i->...->k->...->j这一条路,j的上一个城市正好是p(kj)。所以一旦发现d(ij)>d(ik)+d(kj),就把p(kj)存入p(ij)。
小例子
- 代码
#include
#include
using namespace std;
#define len 100
#define INF 999999
class Graph{
// 内部类
private:
// 邻接表中表对应的链表的顶点
class ENode{
public:
int vex; // 顶点
int weight; // 权重
ENode *nextEdge; // 指向下一条弧
};
// 邻接表中表的顶点
class VNode{
public:
char data; // 顶点信息
ENode *firstEdge; // 指向第一条依付该顶点的弧
};
// 私有成员
private:
int n; // 节点个数
int e; // 边的个数
VNode mVexs[len];
public:
Graph(){
ENode *node1, *node2;
n = 7;
e = 12;
// 设置节点为默认数值
string nodes = "ABCDEFG";
// 输入节点
for(int i=0; i < n; i++){
mVexs[i].data = nodes[i];
mVexs[i].firstEdge = NULL;
}
// 设置边为默认值
char edges[][2] = {
{'A', 'B'},
{'A', 'F'},
{'A', 'G'},
{'B', 'C'},
{'B', 'F'},
{'C', 'D'},
{'C', 'E'},
{'C', 'F'},
{'D', 'E'},
{'E', 'F'},
{'E', 'G'},
{'F', 'G'}
};
// 边的权重
int weights[len] = {12, 16, 14, 10, 7, 3, 5, 6, 4, 2, 8, 9};
// 初始化邻接表的边
for(int i=0; i < e; i++){
int start = get_Node_Index(edges[i][0]);
int end = get_Node_Index(edges[i][1]);
// 初始化 node1
node1 = new ENode();
node1->vex = end;
node1->weight = weights[i];
node1->nextEdge = NULL;
// 将 node 添加到 start 所在链表的末尾
if(mVexs[start].firstEdge == NULL){
mVexs[start].firstEdge = node1;
}
else{
linkLast(mVexs[start].firstEdge, node1);
}
// 初始化 node2
node2 = new ENode();
node2->vex = start;
node2->weight = weights[i];
node2->nextEdge = NULL;
// 将 node 添加到 end 所在链表的末尾
if(mVexs[end].firstEdge == NULL){
mVexs[end].firstEdge = node2;
}
else{
linkLast(mVexs[end].firstEdge, node2);
}
}
}
// 相邻节点链接子函数
void linkLast(ENode*p1, ENode*p2){
ENode*p = p1;
while(p->nextEdge){
p = p->nextEdge;
}
p->nextEdge = p2;
}
// 返回顶点下标
int get_Node_Index(char number){
for(int i=0; i < n; i++){
if(number == mVexs[i].data){
return i;
}
}
return -1; //这句话永远不会执行的
}
// 输出邻接表
void print(){
for(int i=0; i < n; i ++){
cout< "<vex;
temp = temp->nextEdge;
}
cout<vex == n){
return enode->weight;
}
enode = enode->nextEdge;
}
return INF;
}
// 弗洛伊德算法
void floyd(){
int dist[n][n]; // 距离矩阵
int path[7][7]; // 路径矩阵, 7为节点数目
int i, j, k;
int temp;
// 初始化权重
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = 0; j < n; j++){
if(i == j){
dist[i][j] = 0;
}
else{
dist[i][j] = getWeight(i, j);
}
path[i][j] = i;
}
}
// floyd 算法开始
for(k = 0; k < n; k++){
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = 0; j < n; j++){
temp = (dist[i][k] == INF || dist[k][j] == INF)? INF : (dist[i][k] + dist[k][j]);
if(temp < dist[i][j]){
dist[i][j] = temp;
path[i][j] = path[k][j];
}
}
}
}
// 打印出两点之间最短距离 + 路径
for(i = 0; i < n-1; i++){
for(j = i+1; j < n; j++){
if(dist[i][j] < 10){
cout< "< "<
参考
- Floyd算法(二)之 C++详解