logistic Regression算法推导过程

话说 这个算法大学时随便写的，有一次还被老师点名推导，哎，前两天突然发现有点模糊了，这可不行，来，走起

1.引言

看了Stanford的Andrew Ng老师的机器学习公开课中关于Logistic Regression的讲解，然后又看了《机器学习实战》中的LogisticRegression部分，写下此篇学习笔记总结一下。

首先说一下我的感受，《机器学习实战》一书在介绍原理的同时将全部的算法用源代码实现，非常具有操作性，可以加深对算法的理解，但是美中不足的是在原理上介绍的比较粗略，很多细节没有具体介绍。所以，对于没有基础的朋友（包括我）某些地方可能看的一头雾水，需要查阅相关资料进行了解。所以说，该书还是比较适合有基础的朋友。

本文主要介绍以下三个方面的内容：

（1）Logistic Regression的基本原理，分布在第二章中；

（2）Logistic Regression的具体过程，包括：选取预测函数，求解Cost函数和J(θ)，梯度下降法求J(θ)的最小值，以及递归下降过程的向量化（vectorization），分布在第三章中；

（3）对《机器学习实战》中给出的实现代码进行了分析，对阅读该书LogisticRegression部分遇到的疑惑进行了解释。没有基础的朋友在阅读该书的Logistic Regression部分时可能会觉得一头雾水，书中给出的代码很简单，但是怎么也跟书中介绍的理论联系不起来。也会有很多的疑问，比如：一般都是用梯度下降法求损失函数的最小值，为何这里用梯度上升法呢？书中说用梯度上升发，为何代码实现时没见到求梯度的代码呢？这些问题在第三章和第四章中都会得到解答。

文中参考或引用内容的出处列在最后的“参考文献”中。文中所阐述的内容仅仅是我个人的理解，如有错误或疏漏，欢迎大家批评指正。下面进入正题。

2. 基本原理

Logistic Regression和Linear Regression的原理是相似的，按照我自己的理解，可以简单的描述为这样的过程：

（1）找一个合适的预测函数（Andrew Ng的公开课中称为hypothesis），一般表示为h函数，该函数就是我们需要找的分类函数，它用来预测输入数据的判断结果。这个过程时非常关键的，需要对数据有一定的了解或分析，知道或者猜测预测函数的“大概”形式，比如是线性函数还是非线性函数。

（2）构造一个Cost函数（损失函数），该函数表示预测的输出（h）与训练数据类别（y）之间的偏差，可以是二者之间的差（h-y）或者是其他的形式。综合考虑所有训练数据的“损失”，将Cost求和或者求平均，记为J(θ)函数，表示所有训练数据预测值与实际类别的偏差。

（3）显然，J(θ)函数的值越小表示预测函数越准确（即h函数越准确），所以这一步需要做的是找到J(θ)函数的最小值。找函数的最小值有不同的方法，Logistic Regression实现时有的是梯度下降法（Gradient Descent）。

3. 具体过程

3.1  构造预测函数

Logistic Regression虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，用于两分类问题（即输出只有两种）。根据第二章中的步骤，需要先找到一个预测函数（h），显然，该函数的输出必须是两个值（分别代表两个类别），所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：

对应的函数图像是一个取值在0和1之间的S型曲线（图1）。

图1

接下来需要确定数据划分的边界类型，对于图2和图3中的两种数据分布，显然图2需要一个线性的边界，而图3需要一个非线性的边界。接下来我们只讨论线性边界的情况。

图2

图3

对于线性边界的情况，边界形式如下：

构造预测函数为：

hθ(x)函数的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为：

3.2  构造Cost函数

Andrew Ng在课程中直接给出了Cost函数及J(θ)函数如式（5）和（6），但是并没有给出具体的解释，只是说明了这个函数来衡量h函数预测的好坏是合理的。

实际上这里的Cost函数和J(θ)函数是基于最大似然估计推导得到的。下面详细说明推导的过程。（4）式综合起来可以写成：

取似然函数为：

对数似然函数为：

最大似然估计就是要求得使l(θ)取最大值时的θ，其实这里可以使用梯度上升法求解，求得的θ就是要求的最佳参数。但是，在Andrew Ng的课程中将J(θ)取为（6）式，即：

因为乘了一个负的系数-1/m，所以J(θ)取最小值时的θ为要求的最佳参数。

3.3  梯度下降法求J(θ)的最小值

求J(θ)的最小值可以使用梯度下降法，根据梯度下降法可得θ的更新过程：

式中为α学习步长，下面来求偏导：

上式求解过程中用到如下的公式：

因此，（11）式的更新过程可以写成：

因为式中α本来为一常量，所以1/m一般将省略，所以最终的θ更新过程为：

另外，补充一下，3.2节中提到求得l(θ)取最大值时的θ也是一样的，用梯度上升法求（9）式的最大值，可得：

观察上式发现跟（14）是一样的，所以，采用梯度上升发和梯度下降法是完全一样的，这也是《机器学习实战》中采用梯度上升法的原因。