MATLAB曲线拟合函数

MATLAB曲线拟合函数

一、多项式拟合

  • ployfit(x,y,n) :找到次数为 n 的多项式系数,对于数据集合 {(x_i,y_i)},满足差的平方和最小
  • [P,E] = ployfit(x,y,n) :返回同上的多项式 P 和矩阵 E 。多项式系数在向量 p 中,矩阵 E 用在 ployval 函数中来计算误差
  • 某数据的横坐标为 x= [0.2 0.3 0.5 0.6 0.8 0.9 1.2 1.3 1.5 1.8],纵坐标为 y = [1 2 3 5 6 7 6 5 4 1],对该数据进行多项式拟合
  • 代码
      clear all
      clc
      x = [0.2 0.3 0.5 0.6 0.8 0.9 1.2 1.3 1.5 1.8];
      y = [1 2 3 5 6 7 6 5 4 1];
      p5 = polyfit(x,y,5);               % 5 阶多项式拟合 
      y5 = polyval(p5,x);
      p5 = vpa(poly2sym(p5),5)           %显示 5 阶多项式
      p9 = polyfit(x,y,9);               % 9 阶多项式
      y9 = polyval(p9,x);
      figure;                               %画图
      plot(x,y,'bo');
      hold on;
      plot(x,y5,'r:');
      plot(x,y9,'g--');
      legend('原始数据','5 阶多项式拟合','9 阶多项式拟合');
      xlabel('x');
      xlabel('y');
  • 运行程序后,得到的 5 阶多项式如下:
    p5 =10.041x^5 + 58.244x^4 - 124.54x^3 + 110.79x^2 - 31.838*x + 4.0393
  • 输出结果如下:
    MATLAB曲线拟合函数_第1张图片

  • 可见,当采用 9 次拟合时,得到的结果与原数据符合的比较好。当使用函数 polyfit() 进行拟合时,多项式的阶次最大不超过 length(x) - 1

二、加权最小方差(WLS)拟合原理及实例

  • 加权最小方差就是根据基础数据本身各自的准确度的不同,在拟合的时候给每个数据以不同的加权数值。这种方法比单纯最小方差方法要更加符合拟合的初衷
  • 根据 WLS 数据拟合方法,自行编写使用 WLS 方法拟合数据的 M 函数,然后使用 WLS 方法进行数据拟合
  • 在 M 文件编辑器中输入如下代码:
      function [th,err,yi] = polyfits(x,y,N,xi,r)
      % x,y:数据点系列
      % N:多项式拟合的系统
      % r:加权系数的逆矩阵
      
      M = length(x);
      x = x(:);
      y = y(:);
      
      % 判断调用函数的格式
      if nargin == 4
      % 当调用的格式为 (x,y,N,r)
        if length(xi) == M
                r = xi;
                xi = x;
      % 当调用的格式为(x,y,N,xi)
        else r = 1;
        end;
      % 当调用格式为(x,y,N)
      elseif nargin == 3
        xi = x;
        r = 1;
      end
      % 求解系数矩阵
      A(:,N+1) = ones(M,1);
      for n = N:-1:1
        A(:,n) = A(:,n+1).*x;
      end
      if length(r) == M
        for m =1:M
            A(m,:) = A(m,:)/r(m);
            y(m) = y(m)/r(m);
        end
      end
       % 计算拟合系数
      th = (A\y)';
      ye = polyval(th,x);
      err = norm(y-ye)/norm(y);
      yi = polyval(th,xi);
  • 将上面代码保存为 “polyfits.m” 文件
  • 使用上面的程序代码,对基础数据进行 LS 多项式拟合。在 MATLAB 的命令窗口输入下面的程序
     clear all
      clc
      x = [-3:1:3]';
      y = [1.1650 0.0751 -0.6965 0.0591 0.6268 0.3516 1.6961]';
      [x,i] = sort(x);
      y = y(i);
      xi = min(x) + [0:100]/100*(max(x) - min(x));
      for i = 1:4
        N = 2*i-1;
        [th,err,yi] = polyfits(x,y,N,xi);
        subplot(2,2,i)
        plot(x,y,'o')
        hold on
        plot(xi,yi,'-')
        grid on
      end
  • 得到的拟合结果
    MATLAB曲线拟合函数_第2张图片

  • LS 方法其实是 WLS 方法的一种特例,相当于将每个基础数据的准确度都设为 1。但是,自行编写的 M 文件和默认的命令结果不同

三、非线性曲线拟合

  • 非线性曲线拟合是已知输入向量 xdata,输出向量 ydata,并知道输入与输出的函数关系为 ydata = F(x,xdata),但不清楚系数向量 x。进行曲线拟合急求 x 使得下式成立:
    \(\displaystyle{min_x} \frac{1}{2}|| F(x,xdata)-ydata||_2^2 = \frac{1}{2}\displaystyle{\sum_i}(F(x,xdata_i) - ydata_i)^2\)
  • 在 MATLAB 中,可以使用函数 curvefit 解决此类问题,其调用格式如下:
    • x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata):x0 为初始解向量,xdata,ydata 为满足关系 ydata = F(x,xdata)的数据
    • x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub):lb、ub 为解向量的下届和上届 lb <= x <= ub,若没有指定界,则lb = [],ub = []
    • x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options):options 为指定的优化参数
    • [x,resnorm] = lsqcurvefit(…):resnorm 是在 x 处残差的平方和
    • [x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(…):residual 为在 x 处的残差
    • [x,resnorm,residual,exitflag] =lsqcurve(…):exitflag 为终止迭代的条件
    • [x,resnorm,residual,exitflag,output] =lsqcurve(…) :output 为输出的优化信息
  • 已知输入向量 xdata 和输出向量 ydata,且长度都是 n,使用最小二乘非线性拟合函数:ydata(i) = x(1)·xdata(i)^2+x(2)·\sin(xdata(i))+ x(3)·xdata(i)^3
  • 根据题意可知,目标函数为:\(min_x \frac{1}{2}\displaystyle{\sum_{i=1}^n}(F(x,xdata_i)-ydata_i)^2\)
  • 其中:F(x,xdata) = x(1)·xdata^2+x(2)\sin(xdata)+x(3)·xdata^3
  • 初始解向量定位 x0 = [0.3,0.4,0.1]
  • 首先建立拟合函数文件 ex1024.m
      function F = ex1024(x,xdata)
      F = x(1)*xdata.^2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata.^3;
  • 再在命令行编写函数拟合代码;
      clear all
      clc
      xdata = [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4];
      ydata = [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3];
      x0 = [10,10,10];
      [x,resnorm] = lsqcurvefit(@ex1024,x0,xdata,ydata)
  • 结果为 \(x = \begin{matrix}0.2269 &0.3385 &0.3022\end{matrix} , resnorm = 6.2950\),即函数在 x = 0.2269、x = 0.3385、x = 0.3022 处残差的平方和均为 6.295
  • 当然了,还有一钟好用的东西叫 cftool,简直不要太简洁,入门操作请看:MATLAB如何快速进行曲线拟合
posted @ 2018-08-12 20:02 Nikki_o3o 阅读( ...) 评论( ...) 编辑 收藏

你可能感兴趣的:(MATLAB曲线拟合函数)