2021蓝桥杯省赛 C++ A组C题 B组D题 货物摆放（暴力求解O(n^(2/3))）

题目

图片来源2021蓝桥杯省赛 C++ A组 个人部分题解

解析

引入

受暴力求解素数判断的影响（遍历2到$\sqrt{n}$），有了这题的思路
直接暴力是解不出的
不过缩小一点范围就可以暴力出来了
只需要两个for循环，第一层从$1$到$\sqrt[3]{n}$，第二层从$i$到$\sqrt{\frac{n}{i}}$

证明过程

设目标长宽高为$a、b、c$
则有$abc=n$
不妨设 $a\le b\le c$
且$a、b、c$都是大于1的正整数

由上述条件可以推出

$$a^3\le abc=n$$

$$a\le \sqrt[3]{n}$$

即a的最大值为$\sqrt[3]{n}$
同理当a取某个特殊值时

即当$a=i$时

又可推出

$$b^2\le bc=n/a=n/i$$

$$i\le b\le \sqrt{\frac{n}{i}}$$

即b的最大值为$\sqrt{\frac{n}{i}}$，最小值为$i$

这样复杂度就降低了很多（虽然还是很高）
最后写个排列特判就好了

int cal(ll a, ll b, ll c) {
     
    if(a==b && b==c && a==c) return 1;
    else if(a!=b && a!=c && b!=c) return 6;
    else return 3;
}

完整代码

#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long ll;

int cal(ll a, ll b, ll c) {
     
    if(a==b && b==c && a==c) return 1;
    else if(a!=b && a!=c && b!=c) return 6;
    else return 3;
}

int main() {
     
    int ans = 0;
    ll n = 2021041820210418, tmp;
    ll crn = ll(pow(n, 1/3.0));
    cout << crn << endl;
    for(ll i = 1; i <= crn; ++i) {
     
        if(n % i) continue;
        tmp = n / i;
        for(ll j = i; j <= ll(sqrt(tmp)); ++j) {
     
            if(tmp % j) continue;
            ans += cal(i, j, tmp/j);
        }
    }
    cout << ans << endl;
}

计算时间复杂度

设计算次数N，S是n中小于$\sqrt[3]{n}$的因数集合
由于当n%i==0满足时才会由下一个循环

$$\begin{array}{rl}S& =\{x|n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}x=0且x<\sqrt[3]{n}\}\\ N& =\sum _{i\in S}(\sqrt{\frac{n}{i}}-i)\end{array}$$

$$\begin{array}{rlr}& 因为& \sqrt{\frac{n}{i}}\ge \sqrt[3]{n}\ge i\\ & 所以& \sqrt{\frac{n}{i}}-i\ge 0\end{array}$$

简单的放缩

$$\begin{array}{rlr}& 所以& N\le \sum _{i=1}^{\lceil \sqrt[3]{n}\rceil }(\sqrt{\frac{n}{i}}-i)\end{array}\text{\hspace{1em}(见文章小结4)}$$

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{\lceil \sqrt[3]{n}\rceil }(\sqrt{\frac{n}{i}}-i)& =\sum _{i=1}^{\lceil \sqrt[3]{n}\rceil }(\sqrt{\frac{n}{i}})-\sum _{i=1}^{\lceil \sqrt[3]{n}\rceil }i\\ & =\sum _{i=1}^{\lceil \sqrt[3]{n}\rceil }(\sqrt{\frac{n}{i}})-\frac{(\lceil \sqrt[3]{n}\rceil {)}^2+\lceil \sqrt[3]{n}\rceil }{2}\\ & \le \sum _{i=1}^{\lceil \sqrt[3]{n}\rceil }(\sqrt{\frac{n}{i}})-\frac{n^{2/3}+n^{1/3}}{2}\\ & =\sqrt{n}(\sum _{i=2}^{\lceil \sqrt[3]{n}\rceil }\frac{1}{\sqrt{i}}+1)-\frac{n^{2/3}+n^{1/3}}{2}\\ & \le \sqrt{n}({\int }_1^{\lceil \sqrt[3]{n}\rceil }\frac{1}{\sqrt{i}}dx+1)-\frac{n^{2/3}+n^{1/3}}{2}\\ & =2\sqrt{n}(\sqrt{\lceil \sqrt[3]{n}\rceil }-1+1)-\frac{n^{2/3}+n^{1/3}}{2}\\ & \approx 2\sqrt{n}(n^{1/6})-\frac{n^{2/3}+n^{1/3}}{2}\\ & =\frac{4n^{2/3}-n^{2/3}-n^{1/3}}{2}\\ & =\frac{3n^{2/3}-n^{1/3}}{2}\end{array}$$

$$所以N\le \frac{3n^{2/3}-n^{1/3}}{2}$$

$$所以时间复杂度O(n^{2/3})$$

复杂度从O($n^2$)优化到$O(n^{2/3})$直接暴力就可以了
不过还是要跑个1秒多

时间插值计算运行时间

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long ll;

int cal(ll a, ll b, ll c) {
     
    if(a==b && b==c && a==c) return 1;
    else if(a!=b && a!=c && b!=c) return 6;
    else return 3;
}

int main() {
     
    int ans = 0;
    clock_t startTime,endTime;
    ll n = 2021041820210418, tmp;
    ll crn = ll(pow(n, 1/3.0));
    cout << "三次根号n(取整)=" <<crn << endl;
    startTime = clock();
    for(ll i = 1; i <= crn; ++i) {
     
        if(n % i) continue;
        tmp = n / i;
        for(ll j = i; j <= ll(sqrt(tmp)); ++j) {
     
            if(tmp % j) continue;
            ans += cal(i, j, tmp/j);
        }
    }
    endTime = clock();
    cout << ans << endl;
    cout << "The run time is:" <<(double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}

运行结果

答案2430

小结

1. 当时考场上都看懵了，由于技术力不足，时间复杂度下不来了（坐等dalao优化）
2. 考场上我是用python计算的$\sqrt[3]{n}$（结果是126432.41496378921）
3. 今年蓝桥杯好难，被ACM赛制带坏了，忘了在OI赛制上抢分了，省四预定
4. $T\le {\sum }_{i=1}^{\lceil \sqrt[3]{n}\rceil }(\sqrt{\frac{n}{i}}-i)$这一步放得有点大了(我是数学菜鸡 )，有没有dalao优化一下（不然这题这么会只跑1秒多）
5. 2021年4月20日更新，修改了复杂度的逻辑错误，发现才$O(n^{2/3})$