概率统计Python计算（11）离散型随机变量分布（binom & poisson）

1. binom分布（二项分布）

scipy.stats包中的binom类对象是表示二项分布的。常用的四个函数说明见下表。

函数名	参数	功能
rvs(n, p, size)	n，p：分布参数，size：产生的随机数个数，缺省值为1	产生size个随机数
pmf(k, n, p)	k：随机变量取值，n，p：与上同	概率质量函数（分布律）$P(X=k)$
cdf(k, n, p)	k：分布函数自变量，n，p：与上同	累积概率函数（分布函数）$F(k)$
sf(k, n, p)	k：分布函数自变量，n，p：与上同	残存函数$1-F(k)$

例1 已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率。
解：一个人得病的概率$p=0.001$，5000人接受检测，相当于做了5000次重复独立试验。于是，5000人中的得病人数$X$服从参数为$n=5000$，$p=0.001$的二项分布。即$X$~$b(5000,0.001)$。5000人中患病人数不超过5人的概率
$$P(X\le 5)=F(5)=\sum _{k=0}^5{C}_{5000}^k\cdot 0.001^k\cdot 0.999^{5000-k}=0.616.$$
下列代码验证这一计算结果。

from scipy.stats import binom           #导入binom
prob=binom.cdf(k=5, n=5000, p=0.001)    #计算P(X<=5)
print('P(X<=5)=F(5)=%.3f'%prob)         #输出P(X<=5)

第2行调用binom（第1行导入）的cdf函数，计算$P(X\le 5)=F(5)$。运行程序，输出

P(X<=5)=F(5)=0.616

2. poisson分布（泊松分布）

scipy.stats包中的poisson类对象表示泊松分布。常用的四个函数说明见下表。

函数名	参数	功能
rvs(mu, size)	mu：分布参数$\lambda$，size：产生的随机数个数，缺省值为1	产生size个随机数
pmf(k, mu)	k：随机变量取值，mu：与上同	概率质量函数（分布律）$P(X=k)$
cdf(k, mu)	k：分布函数自变量，mu：与上同	累积概率函数（分布函数）$F(k)$
sf(k, mu)	k：函数自变量，mu：与上同	残存函数$1-F(k)$

例2 派出所在长度为$t$的时间间隔（单位：小时）内收到紧急呼救的次数$X$服从参数为$t/2$的泊松分布，而与事件间隔的起点无关。

1. 求某一天中午12时至下午3时未收到紧急呼救的概率；
2. 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。

解：(1)中午12时至下午3时的间隔$t=3$。按题意$\lambda =t/2=1.5$，在此期间收到紧急求救次数$X$~$\pi (1.5)$。未收到紧急呼救为$X=0$，故$P(X=0)=e^{-1.5}=0.2231$；
(2)中午12时至下午5时间隔$t=5$，此期间收到紧急求救次数$X$~$\pi (2.5)$。至少收到1次紧急求救的概率$P(X\ge 1)=1-P(X\le 0)=1-F(0)=1-e^{-2.5}=1-0.0821=0.9179$。
下列代码验算本例计算结果。

from scipy.stats import poisson #导入poisson
prob1=poisson.pmf(k=0, mu=1.5)  #计算参数为1.5时概率P(X=0)
prob2=poisson.sf(k=0, mu=2.5)   #计算参数为2.5时概率P(X>=1)
print('P(X=0)=%.4f'%prob1)
print('P(X>=1)=%.4f'%prob2)

程序的第2行调用poisson的概率质量函数pmf，计算分布参数$\lambda =1.5$时概率$P(X=0)$，注意传递给参数k和mu的值。第3行调用poisson的残存函数sf，计算分布参数$\lambda =2.5$时概率$P(X\ge 1)=1-P(X\le 0)=1-F(0)$，注意传递给参数k和mu的值。运行程序，输出

P(X=0)=0.2231
P(X>=1)=0.9179

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