概率统计Python计算（38）用样本均值和方差计算总体参数的点估计

设来自总体$X$的简单样本为$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$。样本均值为$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$，样本方差为$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$。用Python的numpy包提供的array对象表示样本观测值$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，则运用array对象的mean方法可算得样本均值的观测值$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$，这是一个无参函数。用array对象的var方法可算得样本方差的观测值$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$，其调用接口为
$$\text{var(ddof=0)}$$
参数ddof确定算得的结果为$\frac{1}{n-\text{ddof}}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$，缺省值为0，即计算样本2阶原点矩$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$。即传递1给ddof，则var算得$s^2$。
利用array的std方法则可计算$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$的标准差，其调用接口为
$$\text{std(ddof=0)}$$
参数ddof的意义与var的同名参数相同。即传递1给ddof，std算得$s=\sqrt{s^2}$。
例1 设总体$X$的样本观测值为1502，1453，1367，1650，求样本均值，样本方差和样本均方差。
解：样本均值为$$\overline{x}=\frac{1}{4}(1502+1453+1376+1650)=1493.$$样本方差为$$s^2=\frac{1}{3}[(1502-1493{)}^2+(1453-1493{)}^2+(1376-1493{)}^2+(1650-1493{)}^2]=14068.667.$$样本均方差为$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{14068.667}=118.611.$$
下列代码验算本例计算结果。

import numpy as np                      #导入numpy
x=np.array([1502, 1453, 1367, 1650])    #设置样本数据
mean=x.mean()                           #计算样本均值
s2=x.var(ddof=1)                        #计算样本方差
s=x.std(ddof=1)                         #计算样本均方差
print('x_=%.4f'%mean)
print('s^2=%.4f'%s2)
print('s=%.4f'%s)

第3行调用array对象x的mean方法，计算样本均值$\overline{x}$，第4，5行分别调用x的var方法和std方法计算样本方差$s^2$和样本均方差$s$。运行程序，输出

x_=1493.0000
s^2=14068.6667
s=118.6114

由于$\overline{X}$和$S^2$是总体均值$\mu$和总体方差${\sigma }^2$的无偏估计，故可运用array对象的上述方法来计算$\mu$和${\sigma }^2$的点估计值，然后直接或间接地计算总体的未知参数估计值。
例2 设总体$X$~$U(a,b)$，$a$和$b$未知。$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$为来自$X$的样本，用样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$计算$a$，$b$的估计量。设容量$n=20$的样本观测值为
$$\begin{gathered} 1.248,1.664,1.101,1.967,1.468,1.140,1.434,1.063,1.878,1.375 \\ 1.819,1.704,1.328,1.619,1.830,1.764,1.034,1.553,1.878,1.166 \end{gathered}$$
计算$a$，$b$的估计值。
解：我们知道$E(X)=\frac{a+b}{2}$，$D(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$。用样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$和样本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$，分别估计$E(X)$和$D(X)$。即
$$\{\begin{array}{l}\frac{\stackrel{\wedge }{a}+\stackrel{\wedge }{b}}{2}=\overline{X}\\ \frac{(\stackrel{\wedge }{b}-\stackrel{\wedge }{a}{)}^2}{12}=S^2\end{array}$$
解此方程组，得参数$a$与$b$的估计量
$$\{\begin{array}{l}\stackrel{\wedge }{a}=\overline{X}-\sqrt{3}S\\ \stackrel{\wedge }{b}=\overline{X}+\sqrt{3}S\end{array}$$
其中，$S=\sqrt{S^2}$为样本标准差。
样本均值的观测值为
$$\overline{x}=\frac{1}{20}(1.248+1.664+\cdots +1.166)=1.502$$
样本方差的观测值为
$$s^2=\frac{1}{19}[(1.248-1.502{)}^2+(1.664-1.501{)}^{+}\cdots +(1.166-1.502{)}^{]}=0.094$$
样本均方差$s=\sqrt{s^2}=0.307$，代入$a$，$b$估计量表达式
$$\{\begin{array}{l}\stackrel{\wedge }{a}=\overline{x}-\sqrt{3}s=0.970\\ \stackrel{\wedge }{b}=\overline{x}+\sqrt{3}s=2.034\end{array}.$$
下列代码验算本例计算结果。

import numpy as np                              #导入numpy
x=np.array([1.248, 1.664 ,1.101 ,1.967 ,1.468,  #设置样本数据数组
            1.140, 1.434, 1.063, 1.878, 1.375,
            1.819, 1.704, 1.328, 1.619, 1.830,
            1.764, 1.034, 1.553, 1.878, 1.166])
mu=x.mean()                                     #计算样本均值
sigma=x.std(ddof=1)                             #计算样本标准差
a=mu-np.sqrt(3)*sigma                           #计算参数a的估计值
b=mu+np.sqrt(3)*sigma                           #计算参数b的估计值
print('用样本均值、方差估计a=%.4f, b=%.4f'%(a, b))

运行程序，输出

用样本均值、方差估计a=0.9697, b=2.0336

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