溺于恐

高等代数理论基础28：矩阵乘积的行列式与秩

矩阵乘积的行列式与秩

乘积的行列式

定理：设A,B是数域P上的两个矩阵,则

即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积

推广：设都是数域P上的矩阵,则

退化

定义：对数域P上的矩阵A,若,则称A为非退化的,否则称为退化的

注：一个矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于n

推论：设A,B是数域P上矩阵,矩阵AB为退化的充要条件是A,B中至少有一个是退化的

矩阵乘积的秩

定理：设A是数域P上矩阵,B是数域P上矩阵,

即乘积的秩不超过各因子的秩

证明：

$设A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nm}\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1s}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2s}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{ms}\end{pmatrix}$

推论：若,则

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