2021认证杯数学中国数学建模网络挑战赛第二阶段思路分享ABCD题

题目

A 题 医学图像的配准

图像的配准是图像处理领域中的一个典型问题和技术难点，其目的在于 比较或融合同一对象在不同条件下获取的图像。例如为了更好地综合多种信 息来辨识不同组织或病变，医生可能使用多种仪器对患者的同一部位进行成像。在综合多幅图像时，首先需要将它们严格对齐，使得图上同一个坐标的位 置对应的是真实对象的同一个点，这个过程称之为配准。现在的许多医学成 像技术，包括 CT、MRI、PET 等，最终生成的是人体的断层影像。在这里，我们主要关心的是断层成像的配准问题。
我们考虑对一个患者的腹部进行断层成像。由于人体组织是柔软的，所以 即使使用同一台成像设备，两次成像的结果也并不完全一致。最终输出时还 会对图像进行自动放缩，所以输出图片的大小也并不完全相同。想要精确配 准，需要将其中一次的成像结果进行某种仿射变换（或非线性变换），以尽可 能地匹配另一次的结果（或将两次结果都映射到同一个标准模板中）。求得合 适的变换就是图像配准的核心任务。
第一阶段问题： 对同一个患者进行两次 CT 成像，间隔长达数周乃至更长。两次扫描的断层位置相同，但由于占位性病变的发展，成像的结果在某些区域会有区别。请你设计一个有效的方法，使我们能够对这样两张图像进行配准，以使计算机辅助医疗系统能够通过比较来自动识别出病变的位置，并定量地评估出病变的发展情况。
第二阶段问题： 多模态的配准是指对来自不同设备的图像进行配准，例如对 CT 和 MRI 图像进行配准。有的组织或病变部位在单一的成像技术下与
周边组织的区分不明显，所以我们可以对多种成像技术得到的图片进行融合处理，让每个像素点的成像结果表现为一个多维向量（每个分量都是一种成 像技术的成像结果），这样可以更好地识别组织或病变的细节。多模态的配准 则是图像融合的第一步。
现在我们有对患者同一身体部位（同一时间）的 CT、MRI 和 PET 成像结果。但在图像融合处理时遇到了两个问题：首先，每一种成像技术对不同组织 的区分能力是不同的，例如有些不同的组织在 CT 下看起来区别不大，但在MRI 下区分却十分明显；另外一些组织在 MRI 下区别不大，但在 CT 下区分却十分明显。所以对不同的成像设备而言，即使是同一个位置的成像结果，也 并非完全相似，这给配准带来了难度。第二，在进行断层成像时，虽然对每个设备而言，我们能够确切地知道每个断层的位置，但不同设备扫描的断层位 置并不完全相同。请你设计一个有效的方法，对这样的成像结果进行图像的 融合。
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B 题 依巴谷星表中的毕星团

依巴谷卫星（High Precision Parallax Collecting Satellite，缩写为 Hip- parcos），全称为“依巴谷高精度视差测量卫星”，是欧洲空间局发射的一颗天体测量卫星，用以精确测量恒星的视差和自行。通过视差可以推断出恒星距 地球的距离。
毕星团位于金牛座，是离地球最近的疏散星团。其成员星在 300 个以上， 有多颗肉眼可见的亮星。对毕星团的研究已经持续了许多年，包括确定它的距离，构建演化的模型，确认或排除成员，以及研究各成员星的特性等。依据依巴谷卫星的观测数据，我们可以以相当高的精度测量相关各星的距离和运动情况，以对毕星团进行更加精确的研究。
在依巴谷卫星的观测数据中，毕星团中的亮星平均视差在 22 毫角秒左
右，意味着其平均距离在 45 秒差距左右。我们在依巴谷星表中选择了 2719
颗恒星，选择的标准是视差在 20–25 毫角秒之间（也就是距离地球在 40–50
秒差距之间），其中包括了许多毕星团的成员。 这个数据集有如下字段：
1.HIP：星体编号
2.Vmag：视星等
3.RA：赤经（度）
4.DE：赤纬（度）
5.Plx：视差角（毫角秒），1000/Plx 即为目标离观测点的距离（秒差距）
6.pmRA：恒星自行的 RA 分量（毫角秒/年）
7.pmDE：恒星自行的 DE 分量（毫角秒/年）
8.e_Plx：Plx 的测量误差（毫角秒）
9.B-V：恒星的色指数

第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型，在数据集中确认毕星团的成员星，并绘制出毕星团成员星的赫–罗图。

第二阶段问题： 在 1869 年，Richard A. Proctor 观测到有一些距离毕星团相对较远的恒星，在空间中有着与毕星团相似的运动。此后的天文学家将这些 恒星的集合称为毕宿星流。有人猜测这是一个更大的星团（被称为毕宿超级 星团）在部分解体以后的遗迹，也有观点认为其中的大部分恒星来自不同的 起源。
请你建立合理的数学模型，在依巴谷卫星的数据集中寻找毕宿星流的成员星。由于毕宿星流在空间中相对分散，要求对其成员星进行谨慎的界定。 并请参考其赫–罗图来研究毕宿星流和毕星团的来源是否一致。

C 题 破局共享汽车

自 2015 年以来，共享汽车行业曾经“百花齐放”，多个项目获得巨额融资。但因为模式过重、运营成本过高、无法盈利等问题，陆续有共享汽车公司因为资金链断裂而倒闭。据易观发布的《2019 中国共享汽车平台创新白皮书》显示，2019 年的共享汽车行业，是中小参与者不断出局，头部平台拉动行业重启增长的一年。而共享汽车增速在 2019 年 5–10 月达到 2.21%，超过网约车和线上租车。
在以前，汽车被当作“大件”购买。而现在，由于车型更新迭代之快让人眼 花缭乱，加之受疫情影响，消费者的决策过程会变得更长。消费者有用车的欲 望、有消费升级的欲望，但他们越来越聪明了，他们想知道，有没有更轻更好 的用车方式。共享汽车的“分时租赁”模式很多的解决了这个问题。但是这种 方式的成本控制环节过多，导致盈利非常困难。

第一阶段问题： 附件是共享汽车的位置数据集，数据集中提供了时间，经纬度等位置信息，以及停车点上停放的车辆的数量和车辆列表。请建立数学模 型分析该城市的共享汽车使用分布情况，并且制定一个对企业最有利的共享汽车调度方案。

第二阶段问题：

1.附件中的数据是以色列的特拉维夫市的数据，请你参考该城市的人 口、交通状况、消费能力等相关情况，建立数学模型，给出使得企业利润最大 的共享汽车按小时计价方案。

2.共享汽车的停车点是公司租用的。考虑到租赁费用高昂，请你建立合 理的数学模型，结合第一阶段的数据分布特点，研究是否可以减少停车点的 数量？

3.共享汽车行业属于重资产、重运营的行业，在发展初期政府的扶持非 常重要，请为该市政府提供一个共享汽车行业的扶持解决方案，突出在购车 补助、运营补助、税费减免方面的具体措施。

D 题 停车的策略

（本题仅限专科组和爱好者组选用）

开车前往人流集中的目的地时，决定在何处停车经常是一个难题。是停在距离目的地较远的地方，因为那里的空余车位可能较多，然后再走很远的路？ 或者是否应该乐观一点，把车开到目的地附近，只寻找附近的停车位？如果采用后一种策略，如果目的地附近没有停车位，那么就必须回头去寻找更远的停车位，结果会更严重地浪费时间。
假设有一个足够大的停车场，停车位排列成一维的序列，目的地在序列的一端。我们不能居高临下地看到远处的车位情况，只能在开到车位附近时才能看清这里是否已被占据。图 1 是这个停车场的示意图，车辆从右向左进入， 左侧的端点是目的地。
有人采用的策略是看到第一辆停着的车，就立即停到这辆车的右侧。这可以保证有位置，但显然会付出步行时间的代价。有人则将车一直向前开，直到左侧的端点，如果端点处没有空的停车位，再倒车到离目的地最近的空位（我们可以假设倒车不会影响后续车辆）。这可以找到当前离目的地最近的空位， 但倒车也会损失时间，如果需要倒很远，带来的损失就更大了。还有人的策略是第一次看到有两个并排的空位时就停下来，如果开到最左端还没有看到，

Figure 1: 一维的停车场示意图

再采用倒车的办法。诸如此类。

第一阶段问题： 在题目中描述了三种停车的策略。请你和你的团队研究三种停车策略的效果好坏。包括如何衡量停车策略的效果，以及哪些参数影响 了停车策略的效果？

第二阶段问题：

1.如果所有人都采取同一个停车策略，请你设计一个尽量好的停车策 略，并总结该策略的确定与哪些因素有关。

2.如果你在进入前不知道这个停车场的情况，也不知道其他人采取的是什么停车策略。在进入停车场的过程中，你可以看到已经经过的车位的情况， 也知道当前位置距终点的距离。请你设计一个对你而言尽可能合理的停车策略。