最大公约数与最小公倍数

基本概念

如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a额约数。
几个整数中公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数，叫做这几个数的最小公倍数

求法

质因数分解法
质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法
短除法:短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。
辗转相除法
辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫做欧几里得算法。
例如，求（319，377）：
∵ 319÷377=0（余319）
∴（319，377）=（377，319）；
∵ 377÷319=1（余58）
∴（377，319）=（319，58）；
∵ 319÷58=5（余29）
∴ （319，58）=（58，29）；
∵ 58÷29=2（余0）
∴ （58，29）= 29；
∴ （319，377）=29。
可以写成右边的格式。
用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求处其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个树为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。
下面是辗转相除法的算法实现

// 最大公约数
public static int gcd(int p, int q) {
    if(q == 0) return p;    
    int r = p % q;
    return gcd(q ,r);
}
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int m = sc.nextInt();
int n = sc.nextInt();
int x = gcd(m, n);
int lcm = m*n/x;
System.out.println("最大公约数为：" + x);
System.out.println("最最小公倍数为：" + lcm);

更相减损法
更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分)而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言如下：

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。

例1．用更相减损术求98与63的最大公约数。

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数等于7。

这个过程可以简单的写为：

（98，63）=（35，63）=（35，28）=（7，28）=（7，21）=（7，14）=（7，7）=7.

例2．用更相减损术求260和104的最大公约数。

解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。

此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：

65-26=39

39-26=13

26-13=13

所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即1322=52。

这个过程可以简单地写为：

（260,104）(/2/2) =>（65,26）=（39,26）=（13,26）=（13,13）=13. (22) => 52 ^[1]