公理化思想

公理化方法（axiomatic approach）

从尽可能少的不定义的原始概念(基本概念)和一组不加证明的命题(公理)出发，经过精确定义和逻辑推理而得到其他的全部概念和定理的系统的方法。

数学公理化

公理化方法最早是由希腊数学家欧几里得系统运用的。在其所著的《几何原本》里首先定义了基本概念，包括点、线、面、角、圆、三角形等，然后提出了5个公设和5个公理，之后由这些公设和公理通过演绎推理得到命题。演绎推理中每个证明必须以公理，或者被证明了的定理为前提。

纵观中国史书，并没有任何一本可以与欧几里得几何可以相媲美的知识体系和思维的严密性，四书五经只能算是伦理学的规范，合理性也没有得到任何的证明，却充当了限制人灵魂的清规戒律。

公设（postulate）在几何里是不需要证明的基本原理。它是构建几何大厦的地基，是在长期的实践过程中被人所认可的正确的基本事实，就像组成物质的基本单位一样，不能再往前追溯。

几何公设

• 由任意一点到另外一点可画一条直线。（两点确定一条直线）（公设一）
• 一条有限直线可以无限延长
• 以任意的点为圆心，任意的距离可画圆（公设三）
• 凡直角都彼此相等
• （平行公设）若一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两个直角，那么这两条直线在各自不断地延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。

公理 是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。

几何公理

• 等同于相同事物的事物会相互等同
• 若等同物加上等同物，则整体会相等。
• 若等同物减去等同物，则其差会相等。
• 相互重合的事物会相互等同。
• 整体大于部分。

例如：在已知线段上做一个等边三角形。（已知一个线段可做一等边三角形）
设线段AB为已知线段，做一个等边三角形。
- 以A为圆心，AB长为半径画圆，（公设三）
- 以B为圆心，AB长为半径画圆，（公设三）
- 两点交于C点，连接AC、BC，（公设一）
- A是圆心，所以AC=AB（圆定义）
- B是圆心，所以BC=AB（圆定义）
- 由于AC=AB，BC=AB，所以AC=BC=AC。（公理一）
所以三角形ABC就是所要做的等边三角形。

从上面的例子我们可以看出，命题是由公理、定理和概念推出来的。推理过程是从已知公理、定理或概念出发，进行一步一步的操作，最终达到目标，而每一步的操作都是有根据的。如何操作就是每个人的选择了，正确的操作就会达到目标，而错误的操作当然只会得出错误的结论。有些人能做到，有些人做不到，并不是所有人都可以取得这样的成就。在经历无数天才人物的修改之后，真理慢慢的呈现出了它的本来面目。

公理化思想的影响

公理化思想是所有科学的鼻祖。公理化思想的运用使得人们得出的结论有理有据，确定正确无疑。他就像一颗种子一样，两千多年前埋在土里，现在已经长成苍天大树。《几何原本》是公理化思想传播的主要途径，他的发行量仅次于圣经。这种思想后来成为任何知识体系的典范，两千多年来被奉为必须遵守的严密思维典范。

之后的阿基米德，伽利略、牛顿、高斯无论是数学、物理学还是社会学、经济学，任何的知识体系无不严格的准守公理化的演绎思维。欧几里得运用公理化思想对平面几何的公理化改造有没有问题呢？当然有，直到二十世纪初，希尔伯特才运用公理化思维改良了《几何原本》，并引进了更抽象的公理化系统。

《几何原本》在明朝就由利玛窦传入中国，同时也传播了公理化思想。即使徐光启在在评论《几何原本》时说过：“此书为益能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”但并未引起后人的足够重视。直到鸦片战争打开了我国大门，公理化思想才不断的在“师夷长技以制夷”的救亡图存中传播开来。

我们从初中开始学习的《几何》其本质上是在让我们学会这一套公理化思想。升学考试和对分数的追求使得我们在追求真理的道路上越走越远。亚里斯多的曾经说过“我爱我师，我更爱真理”，真理更重要。而升学和分数变成了目的，追求真理却变成了手段，这样就本末倒置。很多人会抱怨，分数不高，罪魁祸首是数学。对真理的追求变成了一种恨而不是爱。