C语言——图（上）（图的定义及术语、存储结构及其遍历）

前言

本篇进入图的学习，继前篇树之后，将学习比树更加复杂的结构。有向图无向图或者是否闭合，都有广泛的应用。关于图在一些实际应用中的例子，本篇会给几个例子。（插图较多）

看完本篇，你将了解到：
（1）什么是图？什么是网？图的常用术语有哪些？
（2）图的相关操作（类比于树和线性表）
（3）图的表示方法（同样也有数组和链表两种），本篇将新介绍一个邻接表
（4）将重点讨论有向图和无向图的表示方法
（5）重点！！！图的遍历（常听到的深度优先搜索DFS及广度优先搜索BFS）

一、图的定义和术语

在线性表中，数据元素为一对一的关系，在图中，任意两个数据元素都可能相关

1.图的定义

（1）图G由顶点集V和关系集VR组成的二元组，记为：G=(V,VR)
（2）V（具有相同特征的数据元素的集合）：图中的数据元素我们通常称为顶点，因此V也称为顶点（元素）的有穷非空集
（3）VR：两个顶点之间关系的集合

2.有向图、弧（有向边）

（1）若图G任意两顶点a，b之间的关系为有序对,即∈VR，则称为从a到b的一条弧/有向边
（2）其中：a是的弧尾（初始点）
b是的弧尾（终止点）
（3）有向图：由顶点集合弧的集合组成的图

例：G1=(V,VR)
V={A,B,C,D,E}
VR={,,,,}

3.无向图、边（无向边）

如果顶点间的关系是无序对，ab之间用()表示,称无序对表示顶点a与b的一条边
（1）无向图：由顶点集合与边的集合组成的图
（2）图中若a、b间有边，则称(a,b)表示a、b互为邻接点，(a,b)依附于a和b，(a,b)与a和b相关联

例：G2={V,VR}
V={V1,V2,V3,V4,V5,V6}
VR={(V1,V3),(V1,V5),(V3,V5),(V4,V6)}

4.完全图

（1）n：顶点的数目
（2）e：边或者弧的数目。
取值范围：0–n(n-1)/2 （若任意两个顶点间都有边，则e取最大值）
（3）有n个顶点和n(n-1)/2条边的无向图称为完全图

5.有向完全图

有n个顶点和n(n-1)条弧的有向图

6.网（Network）

边（弧）上加权的图，分为有向网和无向网

故有4种类型的图：有向图、无向图、有向网、无向网

7.图的常用术语

（1）子图：对图G=(V,VR)和G1=(V1,VR1)，若V1是V的子集且VR1是VR的子集，则称G1是G的一个子图

G1,G2,G3均为G的子图，但G4不是
（2）度：无向图中与顶点v相关联的边(x,y)的数目，称为v的度
记作TD(v)或D(v)
无向图某顶点的度表示：该顶点有多少个邻接顶点
①出度OD(v)：以顶点v为弧尾的弧的数目
②入度ID(v)：以顶点v为弧头的弧的数目

	例：OD(A)=1		
	 	OD(B)=2
	 	OD(C)=0
	 	
	 	ID(A)=1		
	 	ID(B)=1
	 	ID(C)=1
	 	
	 	顶点的度： 
	 	TD(A)=OD(A)+ID(A)=2
	 	TD(B)=OD(B)+ID(B)=3
	 	TD(C)=OD(C)+ID(C)=1

（3）连通性的术语
顶点vi到vj有路径：存在一个顶点序列vi,vi1,vi2,…,vim,vj
其中(vi,vi1),(vi1,vi2),…,(vim,vj)是图的边或弧
（4）连通图及其分量（无向图G）
①若从顶点vi到vj有路径，则称二者是连通的
②连通图：图G中任意两顶点是连通的
③连通分量：无向图的极大连通子图
注：连通图的连通分量是自己，非连通图会有几个连通分量

（5）强连通图及强连通分量（有向图G）
①强连通图：图G中每对顶点vi,vj之间，从vi到vj，陈vj到vi都存在路径
②强连通分量：有向图的极大强连通子图
注：强连通图的强连通分量是自己

（6）生成树
连通图的极小连通子图 ，包含图中所有顶点和n-1条边

8.图的操作

（1）CreateCraph(&G,V,VR)：根据顶点集V和关系集VR生成图
（2）DestroyCraph(&G)：销毁图
（3）Locate(G,v)：查找顶点u的位置
（4）GetVex(G,v):读取顶点v的信息
（5）PutVex(&G,v,value)：给顶点v赋值
（6）FirstAdjVex(G,v)：读v的第一个邻接点
（7）NextAdjVex(G,v,w)：读v（相当于w）的下一个邻接顶点
（8）InsertVex(&G,v):插入顶点
（9）DeleteVex(&G,v):删除顶点
（10）InsertArc(&G,v,w):插入弧
（11）DeleteArc(&G,v,w):删除弧
（12）DFSTraverse(G,visit())：深度优先遍历图
（13）BFSTraverse(G,visit())：宽度优先遍历图
…

二、图的存储结构

1.数组表示法（易于判断两个顶点是否有关系）

（1）数组表示法：用两个数组分别存储数据元素（顶点）的信息和数据元素之间的关系
（2）顶点数组：用一维数组存储顶点（元素 ）
（3）邻接矩阵：用二维数组存储顶点（元素）之间的关系（边或弧）

1）例1：无向图

①将4个顶点依次存放到顶点数组，保存所有顶点的信息
顶点数组vexs v1 v2 v3 v4
0 1 2 3
②用邻接矩阵（arcs）表示二者之间的关系：1表示顶点之间有关系，0表示顶点之间无关系
位置序号分别为i、j，若顶点vi和vj之间有边，则矩阵中aij和aji均赋值为1，否则为0

注：结论：
	①无向图的邻接矩阵是对称矩阵
	②易求顶点vi的度：第i行或第i列上的数字之和

2） 例2：有向图

①将3个顶点依次存放到顶点数组，保存所有顶点的信息
顶点数组vexs A B C
0 1 2
②用邻接矩阵（arcs）表示二者之间的关系：1表示顶点之间有关系，0表示顶点之间无关系
位置序号分别为i、j，若顶点vi和vj之间有弧，则矩阵中aij和aji均赋值为1，否则为0

注：结论：
	①有向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵
	②求顶点vi的度：累加第i行元素，得初度OD(vi) 
					累加第i列元素，得入度OD(vi) 
				度 = 初度+入度 

（4）网
1）对于有向网和无向网，需要在邻接矩阵中加上关系的权值，如果两个顶点有邻接关系，
就用权值代替原来的1，否则就用∞代替0
例：如图

求度时，统计第i行（列）上非无穷大的数的个数

（5）数据类型定义
①约定图中可出现的顶点数目最大值（考虑到数组大小要合适）
②存放顶点数组、邻接矩阵、顶点数、图的类型、弧（边）数

//数据类型定义
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef enum 
{
     
	DG,DN,UDG,UDN
}GraphKind;
typedef struct
{
     
	VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM];
	VRType arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
	int vexnum,arcnum;
	GraghKind kind;
}Mgraph;

2.邻接表表示法（边较少时效率高）

顺序+链式的物理存储结构，通过头结点数组保存顶点信息，用单链表保存顶点之间的关系
（1）无向图的邻接表

①为图G的每个顶点建立一个单链表，第i个单链表中的结点表示依附于顶点vi的边
②头结点数组，保存每一个顶点：（2个部分）顶点值+单链表头指针 （指向1个由所有邻接顶点的序号构成的单链表）
③若无向图G有n个顶点和c条边，需n个表头结点和2e个表结点
④无向图G的邻接表，顶点vi的度=第i个单链表的长度

（2）有向图的邻接表
①第i个单链表中的表结点的值为j，表示以顶点vi为尾的一条弧（vi，vj）
②若有向图G有n个顶点和e条弧，需n个表头结点和e个表结点
③顶点vi的入度：遍历全部单链表，统计结点值为i的结点数
④顶点vi的出度=第i个单链表的长度

（3）有向网的邻接表
表结点表示边或弧，就对表结点扩充一个属性域，至少包含：顶点序号、权值、下一表结点指针

（4）有向网的逆邻接表
①若vi到vj有一条弧，使第j个单链表中的表结点的值为j，表示以顶点vi为尾的一条弧
②若有向图G有n个顶点和e条弧，需n个表头结点和e个表结点
③顶点vi的出度：遍历全部单链表，统计结点值为i的结点数
④点vi的入度=第i个单链表的长度

数据类型定义

//邻接表表示法的数据类型定义
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef struct ArcNode//表结点类型定义，对网需要加权值属性
{
     
	int adjvex;//顶点位置编号
	struct ArcNode *nextarc;//下一个表结点指针
	InfoType *info; 
}ArcNode;

typedef struct VNode//头结点及其数组类型定义
{
     
	VertexType data;//顶点信息
	ArcNode *firstarc;//指向第一条弧 
}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; 

typedef struct//邻接表的类型定义
{
     
	AdjList vertices;//头结点数组
	int vexnum，arcnum;//顶点数、弧数
	GraphKind kind;//图的类型 
}ALGraph; 

十字链表表示法（针对有向图设计，可看成邻接表和逆邻接表的一种组合）

（1）每条弧有一个弧结点，若vi到vj有弧，则在结点中包括
弧结点： tailvex headvex hlink tlink
其中：tailvex：弧尾的位置
headvex：弧头的位置
hlink：指向下一条弧头相同（vj）的弧
tlink：指向下一条弧尾相同（vi）的弧
（2）每个顶点有一个顶点结点（通过顶点的结点数组保存有向图的顶点信息）
顶点结点： data firstin firstout
其中：data：顶点信息
firstin：指向以该顶点为弧头的第一条弧
firstout：指向以该顶点为弧尾的第一条弧

//有向图十字链表存储表示的数据类型定义
#define MAX_VERTEXT_NUM 20
typedef struct ArcBox
{
     
	int tailvex,headvex;//该弧的尾和头顶点的位置
	struct ArcBox *hlink,*tlink;//分别为弧头相同和弧尾相同的弧的链域
	 
}ArcBox; 

typedef struct VexNode
{
     
	VertexType data;
	ArcBox *firstin,*firstout;//分别指向该顶点的第一条入弧和出弧	 
}VexNode;

typedef struct 
{
     
	VexNode xlist[MAX_VERTEXT_NUM];//表头向量
	int vexnum,arcnum;//有向图的当前顶点数和弧数 
}OLGraph; 

①以邻接表为基础，扩展结点属性成起止结点序号
②再添加逆邻接表信息

4.（无向图）邻接多重表（针对无向图设计）

（1）每个顶点有一个头结点
头结点： data firstedge
其中：data：顶点信息
firstedge：指向第一条依附于该顶点的边
（2）每一条边有一个表结点
表结点：mark ivex jvex ilink jlink
其中：mark：标志域，可用以标记该条边是否被搜索过
ivex、jvex：该条边依附的两个顶点在顶点数组的位置
ilink：指向下一条依附于顶点vi的边
jlink：指向下一条依附于顶点vj的边

//（无向图）邻接多重表
#define MAX_VERTEXT_NUM 20
typedef enum {
     unvisited,visited} visitedlf;
typedef struct EBox
{
     
	visitedlf mark;//访问标记
	int jvex,jvex;//该边依附的两个顶点的位置
	struct EBox *ilink,*jlink;//分别指向依附于这两个顶点的下一条边	 
}EBox;

typedef struct VexBox
{
     
	VertexType data;
	EBox *firstedge;//指向第一条依附于该顶点的边 
}VexBox;

typedef struct
{
     
	VexBox adjmullist [MAX_VERTEXT_NUM];
	int vexnum,edgenum;//无向图的当前顶点数和边数 
}AMLGraph;  

三、图的遍历

1.图的深度优先搜索DFS（堆栈）

（1）

eg：以A开头，访问其一个邻接结点E，依次访问到H，发现H没有未被访问的邻接结点
则回退到F，F也没有，一路回退至A,从A继续访问B，一路访问至C，再一路回退到A
此时全部访问完毕
本次访问序列为：AEGFHBDC
注：由于改图是连通图，故一次DFS即可访问完，否则需深度优先搜索多次

//深度优先搜索遍历算法代码（假定结点序号从0开始）
boolean visited[MAX];
void DFSTraverse(Graph G,Status (*visit()))
{
     
	for (int v=0;v<G.vexnum;v++)//初始化各顶点未访问状态
	{
     
		visited[v] = false;
	}
	for (int v=0;v<G.vexnum;v++)
	{
     
		if (!visited[v])//从一个未访问的顶点开始 
			DFS(G,v,visit);
	} 
}

void DFS(Graph G,int v,Status (*visit()))//递归算法 
{
     
	visited[v] = true;
	visit(v);
	for (w=FirstAdjVex(G,v),w>=0;w=NextAdjVex(G,v,x))
	{
     
		if (!visited[w])//处理所有未访问的邻接顶点 
			DFS(G,w,visit);
	}
}	

（2）该算法的效率与图的存储结构有关
邻接矩阵：T(n)=O(n^2)
邻接表： T(n)=O(n+e)（找邻接点需O(e)）

2.图的广（宽）度优先搜索BFS（为控制访问序列，用队列）

（1）如图

eg：从A出发，访问其所有相邻结点EFB，按这个次序访问E的所有未被访问的结点G，其次是FB
序列：AEFBGHDC

//广度优先搜索遍历算法
void BFSTtaverse(Graph G,Status (*visit())) 
{
     
	for (v=0;v<G.vexnum;v++)
	{
     
		visited[v]=false;//初始化visited数组为false 
	}
	InitQueue(Q);
	for (v=0;v<G.vexnum;v++)//按订单位置序号依次选择顶点
	{
     
		if (!visited[v])//遇到为访问过的顶点开始遍历 
		{
     
			visited[v] = true;//首先访问并标记起点v 
			visit(v);
			EnQueue(Q,v);//将v加入到q中 
			while (!QueueEmpty(Q))//若队列非空 
			{
     
				DeQueue(Q,u);//出队 
				for (w=FirstAdjVex(G,u),w>=0;w=NextAdjVex(G,u,w))//对u的所有相邻结点分析 
				{
     
					if (!visited[w])//若某个相邻结点未被访问 
					{
     
						visited[w] = true;//则访问并标记 
						visit(w);
						EnQueue(Q,w);//加入到q中 
					}
				}
			}
		}
	} 
}

（2）该算法的效率与图的存储结构有关

总结

1.图的相关术语定义比较复杂，重点在有向图和无向图，下篇中会详细讲到其应用。
2.图的操作可类比于树和线性表去记忆，大体结构相同。
3.掌握基本操作后，图的存储结构，针对有向图和无向图，我们采取了不同的方法来节省空间和时间。
4.图的遍历，深度优先搜索DFS和广度优先搜索BFS采取不同的结构有很多实现方法，这里仅给出其中一种。这两种算法是经典且常用的算法，建议多看看不同的代码。
5.尤其关注连通图这个概念。

如有错误，欢迎指正！
代码非原创。
（ps：一不小心又咕咕了半个多月）