C语言——一些特殊矩阵的处理（稀疏矩阵）

前言

本篇给大家介绍一些特殊矩阵的存储。
ps：比较短小。

一、特殊矩阵的压缩存储

1.n阶对称矩阵：aij=aji

矩阵标号：a11,a12,…,ann
首先明确：
（1）保存矩阵的下三角或上三角部分即可（包括对角线）
（2）这里选择保存下三角，下三角元素满足i>=j
（3）需保存个数=n(n+1)/2 ,根据个数分配空间
（4）假定以行序为主，顺序存储到SA[1…n(n+1)/2]，aij保存到了SA[k]里，即可分析出ij的关系
①当aij在下三角，i>=j
前i-1行共有元素i(i-1)/2个，第i行中，aij是第j个数据元素，故aij的序号为k=i(i-1)/2 + j
②当aij在上三角，i 上三角的aij=下三角的aji，根据下三角aji的序号找上三角的aij的序号即可

		最终得公式；i>= j    K=A[i,j] = SA[i(i-1)/2 + j]
					i

2.三对角矩阵：除去三条对角线外，其余元素都是0

明确：
（1）元素aij在三对角的条件：|i-j|<=1
（2）三对角的元素个数：3n-2
（3）假定以行序为主，顺序存储到SA[1…3n-2]中，aij保存到了SA[k]里，即可分析出ij的关系
任意元素aij在SA中的序号：K=(3(i-1)+(j-i+2)=2i+j-2

由于以上两个矩阵能通过映像函数计算aij的位置，尽管是压缩存储，但也能进行随机访问

二、稀疏矩阵的压缩

1.三元组表

1.稀疏矩阵：
		零元素很多，非零元素很少，且非零元素在矩阵的位置没有特定的规律
	注：稀疏矩阵没有一个明确的定义，只是从形式上来看，非零元素的个数栈元素总数的比例低于某特定的阈值
由于非零元素很少，只需保存这些非零元素，没有保存的都是零元素。为了标明每个非零元素在矩阵中的位置，我们以（行、列、值）形式
的三元组形式来保存非零元素。
所有非零元素的三元组序列加上矩阵的行数和列数，称为三元组表

2.三元组顺序表

1.定义：分配连续的存储空间，保存稀疏矩阵中的三元组表
注：首先需要一个足够大的三元组数组空间，将非零元素的三元组按行序优先的次序保存在数组中，再就是矩阵的行数、列数和非零元素的个数
这样就能唯一的确定稀疏矩阵，逻辑上和物理上就对应起来了

2.数据类型
（1）假定非零元素的个数最大值为10000，定义常量MAXSIZE=10000
（2）定义三元组的结构类型triple，包括非零元素的行位置、列位置、元素值三个属性
（3）定义三元组顺序表的结构类型TSMatrix，包括大型为MAXISZE的三元组数组、行数、列数和非零元素个数几个属性

#define MAXSIZE 10000//假定非零元素的个数最大值为10000，定义常量MAXSIZE=10000
typedef struct
{
     
	int i,j;//非零元素行、列下标
	ElemType e; //非零元素值 
}Triple;//定义三元组
typedef struct
{
     
	Triple data[MAXSIZE+1];
	int mu,nu,tu;
}TSMatrix;//定义三元组表 

3.十字链表

解释：每行非零元素的三元组结点构成一个单链表，需要行头指针数组来保存所有行的头指针，同样需要一个列头指针数组。
同时，每列非零元素的三元组结点构成一个单链表。为管理两个头指针数组，同时提供完整的矩阵信息，使用一个结构型数据，包含两个头指针数组的信息等

我们称这种物理结构称为十字链表，非常形象的表示了每个非零元素的水平方向关系、行关系，以及垂直方向的关系，列关系。这两种关系十字交叉，故称为十字链表

//用C语言定义十字链表表类型
typedef struct OLNode//三元组结点定义 
{
     
	int i,j;//非零元素行列位置
	ElemType e;
	struct OLNode *right,*down; 
}OLNode,*OLink;

typedef struct//十字链表类型定义 
{
     
	OLink *rhead,*chead;//行列头指针数组
	int mu,nu,tu;//稀疏矩阵的行数、列数和非零元素个数 
}CrossList; 

三、稀疏矩阵的运算（转置算法）

矩阵转置算法：所得T以行序优先

//算法：时间复杂度：O(M.tu*M.nu) 
void TransMatrix1 (TSMatrix M,TSMatrix &T)
{
     
	T.mu = M.nu;
	T.nu = M.mu;
	T.tu = M.tu;
	
	if (T.tu)
	{
     
		q = 1;//指示向T写时的位置
		for (col=1;col<=M.nu;col++)//扫描M的三元组M.nu次 
		{
     
			for (p=1;p<=M.tu;p++)//扫描M的长度为M.tu的三元表
			{
     
				if (M.data[q].i==col)//找到一个符合条件的三元组
				{
     
					T.data[q].i = M.data[p].j;
					T.data[q].j = M.data[p].i;
					T.data[q].e = M.data[p].e;
					q++;
				} 
			} 
		} 
	}
}

总结

这篇确实短小，第一部分只做了文字说明，没有代码实现。
除了稀疏矩阵之外，如三对角矩阵等等。矩阵这块有很多算法，大家感兴趣可以去看看。有很多大佬的打包总结。
下一篇应该就是广义表啦~
ps：代码非原创
如有错误，欢迎指正。