【统计模拟及其R实现】蒙特卡罗 / 精度估计 / 对偶变量法 上机习题答案（超详细）

课本：统计模拟及其R实现 - 肖枝红,朱强 武汉大学出版社

目录

1. 蒙特卡洛模拟法

2. 精度估计：控制置信度和置信区间长度

3. 精度提升：对偶变量法

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1. 蒙特卡洛模拟法

题目1：用模拟的方法近似计算下列积分，并和已知的精确答案进行比较

解：

使用蒙特卡洛模拟法进行模拟.

要计算

则先做变换  ，

得到 

其中

获得较为精确的值：

利用R的内嵌积分函数，如下

integrate(func,lower,upper)

代码：

t1 = function(n) {
  x = runif(n)
  
  h = function(x) {
    y = 1/(x+1)
    g = function(x) x*((1+x^3)^(-4))
    g(1/y - 1)/y^2
  }
  
  normal = sum(h(x))/n
  accurate = integrate(h,0,1)
  
  print(normal)
  print(accurate)
}

t1(10000) # 模拟10000次

题目2：对（0，1) 上的均匀随机变量U1, U2, U3, ... ，定义

即，N等于使其和超过1的随机数的个数，通过产生10000个N的值来估计 E[N]，并猜测 E[N] 的理论值为多少？

解：

通过直接模拟的办法来生成10000个N的值，然后求其平均值，平均值即为估计的E[N]，猜测理论值也为E[N].

代码：

t2 = function(t) {
  x = matrix(0,nrow=t,ncol=t)
  N = 0; N[2] = 0
  for (i in 1:t) {
    n = 1
    repeat {
      x[i,n] = runif(1)
      if ( sum(x[i,]) > 1 ) {
        N[i] = n
        break
      } else {n = n+1}
    }
  }
  print(mean(N))
}

t2(10000)

题目3：一个意外伤亡保险公司有1000个客户，每个客户独立地在下个月以概率0.05索赔，假设索赔量是独立的具有均值$800 指数随机变量，用模拟方法估计这些索赔量的和超过$50000的概率？

解：

① 先模拟一位客户单独的赔偿情况 - getCost()

② 将所有客户的情况汇总，形成一次总模拟  - oneSimu()

③ 将②模拟 n 次，计算其中索赔量的和超过$50000的概率 - t3(n)

代码：

# 模拟一位客户的赔偿
getCost = function() {
  u = runif(1)
  if (u < 0.05) {
    cost = rexp(1,rate=1/800)
  } else {
    cost = 0
  }
  cost
}

# 模拟一次所有客户的赔偿，若超过50000则返回1，否则返回0
oneSimu = function() {
  n = 1000; sum = 0
  for (i in 1:n) {
    cost = getCost()
    if (cost > 0) {
      sum = sum + cost
    }
  }
  if (sum > 50000) {
    result = 1
  } else {
    result = 0
  }
  result
}

# 做n次模拟，返回概率值
t3 = function(n) {
  x = 0; x[2] = 0
  for (i in 1:n) {
    x[i] = oneSimu()
  }
  sum(x)/n
}

t3(10000)

2. 精度估计：控制置信度和置信区间长度

题目1：在用随机投点法估计 pi 时，做多少次模拟才能获得一个长度小于0.1的区间，使之以95%的可能性包含 pi ？

解：

① 写一个随机模拟产生 pi 的程序

② 至少产生1个pi 的模拟数据

③ 连续地产生数据，直到数据的个数 k 满足  ，其中 l 为置信区间长度

④ 置信区间的上限为 ，下限为 

代码：

getPi = function(n) {
  k = 0; u1 = runif(n); u2 = runif(n)
  x = 2*u1-1; y = 2*u2-1
  for (i in 1:n) {
    if (x[i]^2+y[i]^2<=1) {
      k = k + 1
    }
  }
  4*k/n
}

t4 = function(alpha, len) {
  k = 1; n = 10000; x = 0; x[2] = 0
  for (i in 1:k) {
    x[i] = getPi(n)
  }
  
  while (2*qnorm(1-alpha/2)*sd(x)/sqrt(k) >= len) {
    k = k + 1
    x[k] = getPi(n)
  }
  
  
  totalTimes = k
  upper = mean(x) - qnorm(1-alpha/2)*sd(x)/sqrt(k)
  lower = mean(x) + qnorm(1-alpha/2)*sd(x)/sqrt(k)
  result = mean(x)
  
  print(totalTimes)
  print(upper)
  print(lower)
  print(result)
}

t4(0.05,0.1)

题目2：为了估计theta，产生了20个相互独立的具有均值theta的随机数，其值如下：

102, 112, 131, 107, 114, 95, 133, 145, 139, 117,

93, 111, 124, 122, 136, 141, 119, 122, 151, 143

如果要确定theta的置信系数为0.99长度为1的theta最终估计量，另外还需要产生多少个随机数？

解：

仿照上一题中的步骤，但一开始不用产生新的数据，直接将已有数据输入即可.

代码：

t5 = function(alpha, len) {
  k = 20
  x = c(102, 112, 131, 107, 114, 95, 133, 145, 139, 117, 
        93, 111, 124, 122, 136, 141, 119, 122, 151, 143)
  meanx = mean(x); sdx = sd(x)
  
  while (2*qnorm(1-alpha/2)*sd(x)/sqrt(k) >= len) {
    k = k + 1
    x[k] = rnorm(1, mean=meanx, sd=sdx)
  }
  
  moreTimes = k - 20
  upper = mean(x) - qnorm(1-alpha/2)*sd(x)/sqrt(k)
  lower = mean(x) + qnorm(1-alpha/2)*sd(x)/sqrt(k)
  result = mean(x)
  
  print(moreTimes)
  print(upper)
  print(lower)
  print(result)
}

t5(0.01,1)

3. 精度提升：对偶变量法

题目：如何通过对偶变量法得到  的一个模拟估计量？利用对偶变量法是否比独立地产生随机数更有效？并给出估计.

解：

普通法：直接模拟估计该定积分的值.

对偶变量法：使用均匀随机变量u1 u2估计一次，再使用(1-u1) (1-u2)估计一次，取两次估计结果的平均值.

代码：

f = function(x,y) exp((x+y)^2) 

# 普通法估计
normal = function(n) {
  u1 = runif(n); u2 = runif(n)
  result = mean(f(u1,u2))
  v = var(f(u1,u2))
  
  print(result)
  print(v)
}

avg = function(n) {
  u1 = runif(n); u2 = runif(n)
  u11 = 1-u1; u22 = 1-u2 # 构建对偶变量
  
  result = (mean(f(u1,u2))+mean(f(u11,u22)))/2
  v = var((f(u1,u2)+f(u11,u22))/2)
  
  print(result)
  print(v)
}

normal(10000)
avg(10000)

结果：

> normal(10000)
[1] 4.887511 # 值
[1] 35.50393 # 方差
> avg(10000)
[1] 4.893464 # 值
[1] 11.75947 # 方差

后记

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