欧式空间——正交变换与正交补

正交变换

约定 $:V$ 是 $n$ 维欧氏空间.

正交变换: 线性变换 $\mathcal{A}$ 满足 $(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta )=(\alpha ,\beta ),\forall \alpha ,\beta \in V.$ 即保持内积的线性变换.

定理1. 设 $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的线性变换,则如下条件等价：

(1) $\mathcal{A}$ 是正交变换,即 $(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta )=(\alpha ,\beta ),\forall \alpha ,\beta \in V$;

(2) $\mathcal{A}$ 保持长度, 即 $\Vert \mathcal{A}\alpha \Vert =\Vert \alpha \Vert ,\forall \alpha \in V$;

(3) $\mathcal{A}$ 保持任一标准正交基, 即, 如果 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 是标准正交基,那么 $\mathcal{A}{\alpha }_1,\cdots ,\mathcal{A}{\alpha }_n$ 也是标准正交基;

(4) $\mathcal{A}$ 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.

(5) $\mathcal{A}$ 在某组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.

(6) $\mathcal{A}$ 保持某组标准正交基.

证明: $(1)\Rightarrow (2)\forall \alpha \in V,\Vert \mathcal{A}\alpha {\Vert }^2=(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\alpha )=(\alpha ,\alpha )=\Vert \alpha {\Vert }^2\Rightarrow \Vert \mathcal{A}\alpha \Vert =\Vert \alpha \Vert$

$(2)\Rightarrow (1)\forall \alpha ,\beta \in V$,
$$\Vert \mathcal{A}\alpha \Vert =\Vert \alpha \Vert ,\Vert \mathcal{A}\beta \Vert =\Vert \beta \Vert \Rightarrow (\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\alpha )=(\alpha ,\alpha ),(\mathcal{A}\beta ,\mathcal{A}\beta )=(\beta ,\beta )$$
所以：
$$\begin{gathered} (\mathcal{A}\alpha +\mathcal{A}\beta ,\mathcal{A}\alpha +\mathcal{A}\beta )=\Vert \mathcal{A}(\alpha +\beta ){\Vert }^2=\Vert \alpha +\beta {\Vert }^2=(\alpha +\beta ,\alpha +\beta ) \\ =\Vert \alpha {\Vert }^2+\Vert \beta {\Vert }^2+2(\alpha ,\beta ) \\ 又因为(\mathcal{A}\alpha +\mathcal{A}\beta ,\mathcal{A}\alpha +\mathcal{A}\beta )=\Vert \mathcal{A}\alpha {\Vert }^2+\Vert \mathcal{A}\beta {\Vert }^2+2(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta ) \end{gathered}$$
$\Rightarrow (\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta )=(\alpha ,\beta )$

$(1)\Rightarrow (3)：{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 是标准正交基 $\Rightarrow \left({\alpha }_i,{\alpha }_j\right)={\delta }_{ij}$
$\Rightarrow \left(\mathcal{A}{\alpha }_i,\mathcal{A}{\alpha }_j\right)=\left({\alpha }_i,{\alpha }_j\right)={\delta }_{ij}\Rightarrow \mathcal{A}{\alpha }_1,\cdots ,\mathcal{A}{\alpha }_n$ 是标准正交基.

$\begin{array}{l}(3)\Rightarrow (4)\text{ 任取标准正交基 }\mathbf{I}:{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\\ (3)\Rightarrow \mathbf{I}\mathbf{I}:\mathcal{A}{\beta }_1,\cdots ,\mathcal{A}{\beta }_n\text{ 是标准正交基 }\end{array}\}\Rightarrow \mathcal{A}$ 在基 $\mathbf{I}$ 下的矩阵,

即标准正交基$I$到标准正交基 $II$的过渡矩阵, 是正交矩阵.

$(4)\Rightarrow (5)$ 显然.

$(5)\Rightarrow (6)$ 设$\mathcal{A}$在标准正交基 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$ 下的矩阵为正交矩阵$C$, 即
$$\mathcal{A}\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)=\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)C,C^{T}C=I_n$$
下证 $\mathcal{A}{\beta }_1,\cdots ,\mathcal{A}{\beta }_n$ 也是标准正交基:
$$\left(\mathcal{A}{\beta }_i,\mathcal{A}{\beta }_j\right)=\left(\sum _{k=1}^n{c}_{ki}{\beta }_i,\sum _{k=1}^n{c}_{kj}{\beta }_j\right)=\sum _{k=1}^n{c}_{ki}{c}_{kj}={\left(C^{T}C\right)}_{ij}={\delta }_{ij}$$
$\Rightarrow \mathcal{A}{\beta }_1,\cdots ,\mathcal{A}{\beta }_n$ 也是标准正交基

$(6)\Rightarrow (1)$

设 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$ 是标准正交基,且 $\mathcal{A}{\beta }_1,\cdots ,\mathcal{A}{\beta }_n$ 也是标准正交基.

任取 $\alpha =\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)X,\beta =\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)Y\in V$, 则
$$\begin{gathered} \mathcal{A}\alpha =\mathcal{A}\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)X=\left(\mathcal{A}{\beta }_1,\cdots ,\mathcal{A}{\beta }_n\right)X \\ \mathcal{A}\beta =\mathcal{A}\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)Y=\left(\mathcal{A}{\beta }_1,\cdots ,\mathcal{A}{\beta }_n\right)Y \\ \Rightarrow (\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta )={\mathbf{X}}^T\mathbf{Y}=(\alpha ,\beta ) \end{gathered}$$
$(5)\Rightarrow (1)$ 设 $\mathcal{A}$ 在标准正交基 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$ 下的矩阵是正交矩阵 $C$, 即 $\mathcal{A}\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)=\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)C,C^{T}C=I_n$
任取 $\alpha =\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)X,\beta =\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)Y$, 则
$$\begin{array}{rl}(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta )& =\left(\mathcal{A}\left[\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)X\right],\mathcal{A}\left[\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)Y\right]\right)\\ & =\left(\left(\mathcal{A}{\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,\mathcal{A}{\mathbf{\beta }}_n\right)\mathbf{X},\left(\mathcal{A}{\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,\mathcal{A}{\mathbf{\beta }}_n\right)\mathbf{Y}\right)\\ & =\left(\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)C\mathbf{X},\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)C\mathbf{Y}\right)\\ & =(C\mathbf{X}{)}^T{I}_n(\mathbf{C}\mathbf{Y})={\mathbf{X}}^T{\mathbf{C}}^T\mathbf{C}\mathbf{Y}={\mathbf{X}}^T\mathbf{Y}=(\alpha ,\beta )\end{array}$$
设 $V$ 上正交变换 $\mathcal{A}$ 在某标准正交基下的矩阵为 $A$,

定理 $1\Rightarrow A$ 是正交矩阵 $\Rightarrow \det (A)=\pm 1.$

注意到 $\mathcal{A}$ 在不同基下的矩阵相似,相似矩阵有相同的行列式

$\mathcal{A}$ 在任一标准正交基下矩阵的行列式 $=\det (A).$

正交变换在标准正交基下的行列式与基的选取无关!

定义. 设 $V$ 上正交变换 $\mathcal{A}$ 在某标准正交基下的矩阵为 $A$.

(1) 若 $\det (A)=1$, 则称 $\mathcal{A}$ 为第一类正交变换.

(2) 若 $\det (A)=-1$, 则称 $\mathcal{A}$ 为第二类正交变换.

$例1$. 设 $\alpha ,\beta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的两个单位向量.证明: 存在正交变换 $\mathcal{A}$ 使得 $\mathcal{A}\alpha =\beta .$

证明: 将 $\alpha$ 扩充为 $V$ 的一组标准正交基 $\alpha ={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$, 将 $\beta$ 扩充为 $V$ 的一组标准正交基 $\beta ={\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$
$$\mathcal{A}{\alpha }_i={\beta }_i,1\le i\le \mathbf{n}$$
惟一确定了线性变换 $\mathcal{A}\in \mathrm{End}(V):\mathcal{A}\left({\sum }_{i=1}^n{c}_i{\alpha }_i\right)={\sum }_{i=1}^n{c}_i{\beta }_i$

定理1中 $(1)\iff (5)$ 表明 $\mathcal{A}$ 是正交变换, 此时正交变换 $\mathcal{A}$ 满足 $\mathcal{A}\alpha =\beta .$

$例2$设 $\alpha ,\beta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的两个单位向量.证明:存在正交变换 $\mathcal{A}$ 使得 $\mathcal{A}\alpha =\beta$ 且 $\dim \ker \left(\mathcal{A}-1_V\right)\ge n-2.$

证明: $(1)$ 若 $\alpha ,\beta$ 线性相关, 则 $\beta =\pm \alpha .$

将 $\alpha$ 扩充为 $V$ 的一组标准正交基 $\alpha ={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$

$\Rightarrow \beta =\pm {\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 也是一组标准正交基,显然
$$\mathcal{A}\alpha =\beta ,\mathcal{A}{\alpha }_i={\alpha }_i,2\le i\le \mathbf{n}$$
惟一确定了线性变换 $\mathcal{A}\in \mathrm{End}(V).$

定理1中(1) $\iff (5)$ 表明 $\mathcal{A}$ 是正交变换,此时正交变换 $\mathcal{A}$ 满足 $\mathcal{A}\alpha =\beta$ 且 $\dim \left(\ker \mathcal{A}-1_V\right)\ge n-1.$

$(2)$ 下设 $\alpha ,\beta$ 线性无关.令单位向量 ${\gamma }_1=\frac{\alpha +\beta }{\Vert \alpha +\beta \Vert },{\gamma }_2=\frac{\alpha -\beta }{\Vert \alpha -\beta \Vert }$, 则
$$\Rightarrow \left({\gamma }_1,{\gamma }_2\right)=\left(\frac{\alpha +\beta }{\Vert \alpha +\beta \Vert },\frac{\alpha -\beta }{\Vert \alpha -\beta \Vert }\right)=\frac{1}{\Vert \alpha +\beta \Vert \cdot \Vert \alpha -\beta \Vert }\left(\Vert \alpha {\Vert }^2-\Vert \beta {\Vert }^2\right)=0$$
将 ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ 扩充为 $V$ 的标准正交基 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_n$, 则
$$\mathcal{A}{\gamma }_1={\gamma }_1,\mathcal{A}{\gamma }_2=-{\gamma }_2,\mathcal{A}{\alpha }_i={\alpha }_i(3\le i\le n)$$
惟一确定了$V$上的一个正交变换 $\mathcal{A}.$

令单位向量 ${\gamma }_1=\frac{\alpha +\beta }{\Vert \alpha +\beta \Vert },{\gamma }_2=\frac{\alpha -\beta }{\Vert \alpha -\beta \Vert }\Rightarrow \left({\gamma }_1,{\gamma }_2\right)=0$

将 ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ 扩充为 $V$ 的标准正交基 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_n$, 正交变换
$$\begin{array}{c}\mathcal{A}{\gamma }_1={\gamma }_1,\mathcal{A}{\gamma }_2=-{\gamma }_2,\mathcal{A}{\alpha }_i={\alpha }_i(3\le i\le n)\\ \Rightarrow \alpha =\frac{1}{2}\left(\Vert \alpha +\beta \Vert {\gamma }_1+\Vert \alpha -\beta \Vert {\gamma }_2\right),\beta =\frac{1}{2}\left(\Vert \alpha +\beta \Vert {\gamma }_1-\Vert \alpha -\beta \Vert {\gamma }_2\right)\\ \Rightarrow \mathcal{A}\alpha =\frac{1}{2}\left(\Vert \alpha +\beta \Vert \mathcal{A}{\gamma }_1+\Vert \alpha -\beta \Vert \mathcal{A}{\gamma }_2\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\Vert \alpha +\beta \Vert {\gamma }_1-\Vert \alpha -\beta \Vert {\gamma }_2\right)=\beta \end{array}$$
显然 $\mathrm{span}\left({\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_n\right)\subseteq \ker \left(\mathcal{A}-1_V\right)\Rightarrow \dim \ker \left(\mathcal{A}-1_V\right)\ge n-2$

$例3$ . 设 $\alpha =(3,4),\beta =(5,0)$, 试求正交矩阵 $A$ 使得 $A\alpha =\beta .$

解: 显然 $\Vert \alpha \Vert =\Vert \beta \Vert =5$ 且 $\alpha ,\beta$ 线性无关.

令 ${\gamma }_1=\frac{\alpha +\beta }{\Vert \alpha +\beta \Vert }=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1{)}^T,{\gamma }_2=\frac{\alpha -\beta }{\Vert \alpha -\beta \Vert }=\frac{1}{\sqrt{5}}(-1,2)$,

$\Rightarrow \left({\gamma }_1,{\gamma }_2\right)=0\Rightarrow {\gamma }_1\perp {\gamma }_2$, 令 $A\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ 满足:
$$A{\gamma }_1={\gamma }_1,A{\gamma }_2=-{\gamma }_2$$
即 $A\left({\gamma }_1,{\gamma }_2\right)=\left({\gamma }_1,{\gamma }_2\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$
$$\Rightarrow A=C\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)C^T=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& -3\end{array}\right)\Rightarrow A\text{ 正交且 }A\alpha =\beta$$

正交补

设 $V_1,V_2$ 是 $V$ 的子空间, $\beta \in V.$

$\beta$ 与 $V_1$ 正交 $\left(\beta \perp V_1\right):$ 若 $(\alpha ,\beta )=0,\forall \alpha \in V_1$.

$V_1$ 与 $V_2$ 正交 $\left(V_1\perp V_2\right):$ 若 $(\alpha ,\gamma )=0,\forall \alpha \in V_1,\gamma \in V_2.$ 即 $\alpha \perp V_2,\forall \alpha \in V_1.$

$例1$. $V={\mathbb{R}}^4,V_1=\{(a,0,0,d)\mid a,d\in \mathbb{R},a+d=0\}$
$$\beta =(1,0,0,1),V_2=\{(0,b,c,0)\mid b,c\in \mathbb{R}\}\Rightarrow \beta \perp V_1,\beta \perp V_2,V_1\perp V_2$$
定理2. 设 $W,V_1,V_2,\cdots ,V_s$ 都是 $V$ 的子空间, 则

$(1)V_1\perp V_2\Rightarrow V_1+V_2$ 是直和.

(2) $W\perp V_i\Rightarrow W\perp {\sum }_{i=1}^s{V}_i$.

$(3)V_1,V_2,\cdots ,V_s$ 两两正交 $\Rightarrow V_1+V_2+\cdots +V_s$ 是直和.

证明: $(1)$ 只需证明 $V_1\cap V_2=O.$任取 $\alpha \in V_1\cap V_2$,

$\begin{array}{l}\alpha \in V_1\\ \alpha \in V_2\\ V_1\perp V_2\end{array}\}\Rightarrow (\alpha ,\alpha )=0\Rightarrow \alpha =0\Rightarrow V_1\cap V_2=O\Rightarrow V_1+V_2$ 是直和

$(2)$ 任取 $w\in W,\alpha ={\sum }_{i=1}^s{\alpha }_i\in {\sum }_{i=1}^s{V}_i$, 其中 ${\alpha }_i\in V_i$ :
$$\begin{array}{rl}W\perp V_i& \Rightarrow \left(w,{\alpha }_i\right)=0\\ & \Rightarrow (w,\alpha )=\left(w,\sum _{i=1}^s{\alpha }_i\right)=\sum _{i=1}^s\left(w,{\alpha }_i\right)=0\Rightarrow W\perp \sum _{i=1}^s{V}_i.\end{array}$$
$(3)$ 任取 $i:(2)\Rightarrow V_i\perp \left({\sum }_{j\ne i}{V}_j\right)\underset{(1)}{\Rightarrow }{V}_i\cap \left({\sum }_{j\ne i}{V}_j\right)=O\Rightarrow V_1+V_2+\cdots +V_s$ 是直和

设 $V_1$ 是 $V$ 的 $r$ 维子空间, 令
$$V_1^{\perp }:=\left\{\alpha \in V\mid \alpha \perp V_1\right\}=\left\{\alpha \in V\mid \left(\alpha ,{\alpha }_1\right)=0,\forall {\alpha }_1\in V_1\right\}$$
则 $V_1^{\perp }$ 是 $V$ 的子空间.
$$V_1\perp V_1^{\perp }\Rightarrow V_1+V_1^{\perp }\text{ 是直和 }\Rightarrow \dim \left(V_1^{\perp }\right)=\dim \left(V_1+V_1^{\perp }\right)-\dim V_1\le n-r$$
取 $V_1$ 的正交基 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r$, 扩充为 $V$ 的正交基 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_{n-r}$
$$\begin{array}{rl}\text{ 则 }\left({\alpha }_i,{\beta }_j\right)=0,\forall i,j& \Rightarrow {\beta }_j\in V_1^{\perp }\Rightarrow \mathrm{span}\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_{n-r}\right)\subseteq V_1^{\perp }\\ & \Rightarrow \dim V_1^{\perp }\ge \dim \mathrm{span}\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_{n-r}\right)=n-r\\ & \Rightarrow V_1^{\perp }是V的一个与V_1正交的补子空间.\end{array}$$
进而, 显然有 $:V_2\perp V_1\Rightarrow V_2\subseteq V_1^{\perp }{V}_1^{\perp }:V_1$ 的正交补

定理3. 设 $V_1$ 是 $V$ 的 $r$ 维子空间, 那么 $V$ 有一个惟一的子空间 $V_1^{\perp }=\left\{\alpha \in V\mid \alpha \perp V_1\right\}$.使得 $V_1\perp V_1^{\perp }$ 且有直和 $V_1\oplus V_1^{\perp }=V.$ 进而 $V_2\perp V_1\Rightarrow V_2\subseteq V_1^{\perp }.$

$例2$. 设 $\alpha =(1,1,1)$, 求 $V_1=\mathrm{span}(\alpha )$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的正交补 $V_1^{\perp }$ 的一组标准正交基.

解1: $V_1^{\perp }=\left\{\alpha \in V\mid \alpha \perp V_1\right\}=\left\{\left(x_1,x_2,x_3\right)\mid x_1+x_2+x_3=0\right\}$

方程组 $x_1+x_2+x_3=0$ 的基础解系为 $(-1,1,0{)}^T,(-1,0,1{)}^T$
$$\Rightarrow V_1^{\perp }\text{ 有一组基 }:(-1,1,0),(-1,0,1)$$
正交化 $:{\delta }_1=(-1,1,0),{\delta }_2=\frac{1}{2}(-1,-1,2)$

单位化得 $V_1$ 得 $V_1^{\perp }$ 的一组标准正交基 $:\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0),\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,-1,2)$

解2: 将 $\alpha$ 扩充为 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基: $\alpha =(1,1,1),{\alpha }_2=(1,1,0),{\alpha }_3=(1,0,0)$

正交化:
$$\begin{array}{l}{\beta }_1=\alpha =(1,1,1)\\ {\beta }_2={\alpha }_2-\frac{\left({\alpha }_2,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)}{\beta }_1=\cdots =\frac{1}{3}(1,1,-2)\\ {\beta }_3=\cdots =\frac{1}{2}(1,-1,0)\end{array}$$
将 ${\beta }_2,{\beta }_3$ 单位化,得 $V_1^{\perp }$ 的一组标准正交基:${\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2),{\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$

$例2$ 设 $V={\mathbb{R}}^{2\times 2},(A,B)=\mathrm{Tr}\left(A^{T}B\right),V_1=\left\{A\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}\mid A^T=A\right\}$, 求 $V_1^{\perp }.$

解: 选取 $V_1$ 的一组基 $:A_1=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),A_3=\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

显然 $\dim V_1=3,\dim V_1^{\perp }=1.$

$B=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in V_1^{\perp }\iff \left(B,A_i\right)=0,i=1,2,3$
$0=\left(A_1,B\right)=\mathrm{Tr}\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\mathrm{Tr}\left(\begin{array}{ll}a& b\\ 0& 0\end{array}\right)=a\Rightarrow a=0$
$0=\left(A_2,B\right)=\cdots =b+c\Rightarrow b+c=0$
$0=\left(A_3,B\right)=\cdots =d\Rightarrow d=0\iff B=b\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\Rightarrow V_1^{\perp }=\left\{A\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}\mid A^T=-A\right\}$

$例3$. 设 $V={\mathbb{R}}^{n\times n},(A,B)=\mathrm{Tr}\left(A^{T}B\right),V_1=\left\{A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}\mid A^T=A\right\},求V_1^{\perp }.$

解: $V_1$ 有一组基: $E_{ij}+E_{ji}(1\le i\le j\le n),\dim V_1=\frac{n(n+1)}{2}$

令 $V_2=\left\{A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}\mid A^T=-A\right\}$ 表示反对称矩阵子空间. $\dim V_2=\frac{n(n-1)}{2}=\dim V_1^{\perp }$.

断言: $V_1\perp V_2$, 于是 $V_2\subseteq V_1^{\perp }\forall A\in V_1,B\in V_2$,
$$\begin{array}{rl}(A,B)& =\mathrm{Tr}\left(A^{T}B\right)=\mathrm{Tr}{\left(A^{T}B\right)}^T=\mathrm{Tr}\left(B^{T}A\right)\\ & =\mathrm{Tr}(-BA)=-\mathrm{Tr}(BA)=-\mathrm{Tr}(AB)=-\mathrm{Tr}\left(A^{T}B\right)\\ & =-(A,B)\Rightarrow (A,B)=0\Rightarrow A\perp B\Rightarrow V_2\subseteq V_1^{\perp }\Rightarrow V_1^{\perp }=\left\{A\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}\mid A^T=-A\right\}\end{array}$$

正交投影

$V_1$ 是 $V$ 的子空间 $\Rightarrow V=V_1\oplus V_1^{\perp }\Rightarrow$ 任一 $\alpha \in V$ 可以惟一地分解为: $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_1^{\perp }$,其中 ${\alpha }_1\in V_1,{\alpha }_1^{\perp }\in V_1^{\perp },{\alpha }_1$ 称为 $\alpha$ 在 $V_1$ 上的正交投影,或内射影.

$例1$. $(1)V={\mathbb{R}}^3,V_1=\mathrm{span}\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_3\right)\Rightarrow V_1^{\perp }=\mathrm{span}\left({\epsilon }_2\right)$

$\alpha =(a,b,c)\Rightarrow \alpha$ 在 $V_1$ 上的正交投影为 $(a,0,c).$

$(2)V={\mathbb{R}}^{n\times n},(A,B)=\mathrm{Tr}\left(A^{T}B\right),V_1=\left\{A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}\mid A^T=A\right\}$

$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}\Rightarrow A=\frac{1}{2}\left(A+A^T\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)\Rightarrow A在V_1$ 上的正交投影为 $\frac{1}{2}\left(A^T+A\right)$

定理4. 设 $V_1$ 是 $V$ 的子空间, $\alpha \in V,{\alpha }_1\in V_1$,则如下条件等价:

(1) ${\alpha }_1$ 是 $\alpha$ 在 $V_1$ 上的正交投影;

(3) $\alpha -{\alpha }_1\perp V_1$

(2) $\Vert \alpha -{\alpha }_1\Vert \le \Vert \alpha -\beta \Vert ,\forall \beta \in V_1;$

证明: $(1)\Rightarrow (2)$

$\begin{array}{r}{\alpha }_1\text{ 是 }\alpha \text{ 在 }{V}_1\text{ 上的正交投影 }\Rightarrow \alpha -{\alpha }_1\in V_1^{\perp }\\ \forall \beta \in V_1,\alpha -\beta =\left(\alpha -{\alpha }_1\right)+\left({\alpha }_1-\beta \right)\\ {\alpha }_1-\beta \in V_1\end{array}\}\Rightarrow \Vert \alpha -{\alpha }_1\Vert \le \Vert \alpha -\beta \Vert$
$(1)\Rightarrow (3)$ 由正交投影定义.

$\begin{array}{r}(3)\Rightarrow (1)\alpha -{\alpha }_1\perp V_1\Rightarrow \alpha -{\alpha }_1\in V_1^{\perp }\\ \alpha ={\alpha }_1+\left(\alpha -{\alpha }_1\right),{\alpha }_1\in V_1\end{array}\}\Rightarrow {\alpha }_1$ 是 $\alpha$ 在 $V_1$ 上正交投影

$(2)\Rightarrow (1)$

设 $\begin{array}{r}\alpha \text{ 在 }{V}_1\text{ 上的正交投影为 }\gamma \Rightarrow \alpha -\gamma \in V_1^{\perp }\\ {\alpha }_1,\gamma \in V_1\Rightarrow \gamma -{\alpha }_1\in V_1\end{array}\}\Rightarrow$

勾股定理 $\Rightarrow {\Vert \alpha -{\alpha }_1\Vert }^2=\Vert \alpha -\gamma {\Vert }^2+{\Vert \gamma -{\alpha }_1\Vert }^2$
$\begin{array}{rl}\Rightarrow & \Vert \alpha -{\alpha }_1\Vert \ge \Vert \alpha -\gamma \Vert \\ (2)& \Rightarrow \Vert \alpha -{\alpha }_1\Vert \le \Vert \alpha -\gamma \Vert \end{array}\}\Rightarrow \Vert \alpha -{\alpha }_1\Vert =\Vert \alpha -\gamma \Vert$

$\Rightarrow \Vert \gamma -{\alpha }_1\Vert =0\Rightarrow \gamma ={\alpha }_1$

$例2$. 设 $\alpha =(1,2,3),{\beta }_1=(1,1,0),{\beta }_2=(1,0,1)\in {\mathbb{R}}^3$, 求 $\alpha$ 在
$$V_1=\mathrm{span}\left({\beta }_1,{\beta }_2\right)\text{ 上的正交投影 }$$
解: ${\alpha }_1=c_1{\beta }_1+c_2{\beta }_2$ 是 $\alpha$ 在 $V_1$ 上的正交投影
$$\begin{array}{l}\iff \alpha -{\alpha }_1\perp V_1=\mathrm{span}\left({\beta }_1,{\beta }_2\right)\iff \{\begin{array}{l}\left(\alpha -c_1{\beta }_1-c_2{\beta }_2,{\beta }_1\right)=0\\ \left(\alpha -c_1{\beta }_1-c_2{\beta }_2,{\beta }_2\right)=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{c}_1\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)+c_2\left({\beta }_2,{\beta }_1\right)=\left(\alpha ,{\beta }_1\right),\\ c_1\left({\beta }_1,{\beta }_2\right)+c_2\left({\beta }_2,{\beta }_2\right)=\left(\alpha ,{\beta }_2\right)\end{array}\\ \left(\begin{array}{ll}\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)& \left({\beta }_1,{\beta }_2\right)\\ \left({\beta }_1,{\beta }_2\right)& \left({\beta }_2,{\beta }_2\right)\end{array}\mid \begin{array}{l}\left(\alpha ,{\beta }_1\right)\\ \left(\alpha ,{\beta }_2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}2& 1& 3\\ 1& 2& 4\end{array}\right)\to \cdots \to \left(\begin{array}{lll}1& 0& 2/3\\ 0& 1& 5/3\end{array}\right)\\ \Rightarrow {\alpha }_1=\frac{2}{3}{\beta }_1+\frac{5}{3}{\beta }_2=\frac{1}{3}(7,2,5)\end{array}$$
$例3$:设 $\alpha ,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s\in {\mathbb{R}}^n$, 求 $\alpha$ 在 $V_1=\mathrm{span}\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s\right)$ 上的正交投影.

解: ${\alpha }_1=c_1{\beta }_1+\cdots +c_s{\beta }_s$ 是 $\alpha$ 在 $V_1$ 上的正交投影
$$\begin{array}{l}\iff \alpha -{\alpha }_1\perp V_1=\mathrm{span}\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s\right)\\ \iff \left(\alpha -{\sum }_{i=1}^s{c}_i{\beta }_i,{\beta }_j\right)=0\\ \iff {\sum }_{i=1}^s{c}_i\left({\beta }_i,{\beta }_j\right)=\left(\alpha ,{\beta }_j\right)\end{array}$$
$\iff {\left(c_1,\cdots ,c_s\right)}^T$ 是 $B^{T}BX=B^T\alpha$ 的解, 其中

其中 $B=\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s\right),B^{T}B$ 是 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s$ 的Gram 矩阵

参考

高等代数 电子科技大学