线性代数的本质——学习笔记1:1-3章

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原视频：【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集

本文是3B1B系列视频《线性代数的本质》的学习笔记第一部分——涵盖1、2、3章内容

1. 向量vector

1. 向量是什么
   1. 物理视角：箭头 （长度和方向决定一个向量）
   2. 计算机视角：有序数字列表
   3. 数学视角：可以进行相加或数乘的一切
   4. （直观视角：各方向运动的合成/对某一方向的运动）
2. 在线性代数中，向量常常以原点作为起点
3. 列表视角与箭头视角的关联：通过向量坐标（每个值是沿着对应轴走多远）
4. 向量相加：三角形定理
   1. 运动视角：进行两个向量的运动
   2. 数字视角：加和各坐标系值
5. 数乘：数字（标量scalar）的作用是缩放（scale）向量
   1. 向量整体缩放，相当于分量缩放（对以列表视角看向量相当于每个数被乘）

2. 线性组合、线性生成空间与基

1. 
   基向量，坐标系的基
   向量坐标，可以视作：用各数字分别缩放基向量，再将其缩放后的向量相加：
   $ai+bj$
   事实上，我们可以选择别的基，构成另一种坐标系

2. 标量与向量乘积之和的结果，被称为这些向量的线性组合：$av+bw$
   所有结果组成一个集合，这个集合给称为这些向量的张成空间span
   在二维平面，就是全部的线组成平面/还是一根线

3. 在一组向量中，至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献
   or
   移除一个向量，不影响生成空间
   $\Rightarrow$线性相关 or 其中一个向量可以被表示为其他向量的线性组合，因为这个向量已经落在其他向量张成的空间之中
    
   反之则为线性无关
   使所有向量地位平等的定义法：
   

4. 空间的一组基：张成该空间的一个线性无关向量的集合

3. 矩阵与线性变换

1. 线性代数中，变换是一个向量变化为另一个向量的函数
    
   线性变换
   1. 直线在变换后仍然保持为直线，且原点固定
   2. “保持网格线平行并等距分布”的变换
2. 如何数学地描述空间上所有向量的线性变换：
3. 记录$i$和$j$的变化
   向量变化前后是基向量的同一个线性组合
   缩放基向量后再用这个线性组合计算向量：
   $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]$
    
   $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$是基向量变换后的坐标（第一列是第一个基向量）
   $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$是原坐标系中的向量
4. 剪切shear$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$
5. 变换：也有列向量之间线性相关这种情况
6. 若一个变换L满足以下两条性质
   $\begin{array}{rlrl}L\left(v+\overline{w}\right)& =L\left(v\right)+L\left(w\right)& & (1)可加性\\ L\left(c\overline{v}\right)& =cL\left(v\right)& & (2)成比例（一阶齐次）\end{array}$
   则称L是线性的