《数字图像处理》学习总结及感悟：第二章数字图像基础（4）像素间的关系

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一、引言

本系列文章记录老猿自学冈萨雷斯《数字图像处理》的感悟和总结，不过估计更新会比较慢，白天要工作，都是晚上抽空学习，学习完一章再回头总结，想学的朋友可以自己下载英文原版（目前到第四版）和中文译本（目前应该到第三版）的电子版观看，如果想对照观看建议英文原版也找第三版。

这本《数字图像处理》不愧为数字图像处理的经典教程，知识范围广、内容详尽、案例贴近实践，至少很合老猿的口味。但中译本存在两个问题：

1. 有些翻译得不够精准或流利，对于这样的内容如果在老猿总结知识中出现，会以斜体字标记，有些关键术语老猿会附上英文原词；
2. 中译本的图像案例很多都比原版差很多，甚至差到影响对讲述内容的理解，因此就算不看原版文字，图像案例最好还是对照原版的。

二、知识概要：像素间的关系（Some Basic Relationships between Pixels）

2.1、邻域（neighbors）

图像中的像素p与其周边像素的关系常用的有如下几种：

• 4邻域（4-neighbors）：对于图像中的每个像素p，其垂直方向和水平方向与其相邻的4个像素称为p的4邻域，记为N₄（p）。
• 4对角邻域（four diagonal neighbors）：像素p的4个对角相邻的像素称为4对角邻域，记为N_D （p）
• 8邻域（8-neighbors）：像素p的4邻域像素和4对角邻域像素合在一起称为p的8邻域像素，记为记为N₈（p）。

对于图像边缘的像素，存在其邻域像素不在图像内的情况。

2.2、 邻接性（Adjacency）

假设V是定义邻接性的某些灰度值的集合（这个定义有些拗口，老猿这么理解：如果某个像素的灰度值在这个集合中，就表示该像素可以和周边像素具备邻接的基本条件，不是这个集合的灰度值的像素肯定不会和其他像素有邻接关系）：

• 4邻接和8邻接：两个像素p和q，如果q出现在p的4邻域或8邻域，且p和q的灰度值都在集合V中，则p和q是邻接的，根据是4邻域或8邻域称p和q为4邻接（4-adjacency）或8邻接（8-adjacency）
• m-邻接（mixed adjacency，混合邻接）：p和q的灰度值都在集合V中，q与p为4邻接或q在p的4对角邻域中且N₄（p）∩N₄（q）的集合中没有像素值在V中，则称p和q为m邻接。

m邻接是对8邻接的改进，是为了消除8邻接的二义性。令V={1}，如下图：

可能年纪大了反应不过来，这个图乍一看很容易理解，但仔细一想又存在疑问，老猿是思考了一阵子才明白。根据自己的理解解释如下：
分别用a12、a13、a22、a33表示上面4个为1的元素，在8邻接情况下，a13同时是a12和a22的8邻接，但在混合邻接情况下，a13是a12的混合邻接，但不是a22的混合连接，因为a13和a22各自的4邻接存在交集元素a12，不满足混合邻接定义。

2.3、通路（Path）

从像素p（坐标为（x,y））到像素q（坐标为（s,t））的通路（digital path）(或曲线（curve））是除p和q可能重复外不存在其他重复的像素组成的序列（distinct pixels，中文版翻译为“特定的像素序列”，英文版没有除起点和终点外的说明，这是老猿琢磨半天的翻译，不知是否正确），其坐标序列为：

(x₀, y0), (x₁, y₁), … , (x_n, y_n)

满足：

1. (x₀, y0)对应p的坐标， (x_n, y_n)对应q的坐标
2. 序列中的任意两个相邻像素（x_i,y_i）和（x_i+1,y_i+1）是邻接的。

以上关于通路的定义的通路长度为n，如果p和q重合即对应同一个像素，则称该通路为闭合通路（closed path）。

上面定义中两个像素的邻接可以是4邻接、8邻接和混合邻接，则对应的通路分别称为4通路、8通路、m通路（4-, 8-, or m-paths）。

上面邻接定义时说明二义性的图中，其左图连接的虚线是右上角到右下角的8通路，可见图中8通路有2条，而右图是m通路，只有一条。

2.4、连通性（ Connectivity）

假设s是某图像的一个像素子集：

• 如果s中的两个像素p和q之间存在一条由s的全部像素组成的一条通路（path），则可以说s中的两个像素p和q是连通（connected）的
• 根据使用的邻接的类型，连通可以分为4-连通（4-connectivity）、8连通和m连通
• 对于s中的任意像素p，s中连通到p的所有像素构成的集合称为s的连通分量（connected component）
• 如果s中只有一个连通分量，则集合s称为连通集（connected set）

2.5、区域（ Regions ）

假设R是某图像的一个像素子集， 如果R是连通集，则称R为图像的一个区域（region）。需要注意，区域的概念是与邻接类型相关的，可能某个区域是8邻接的区域，但不是4邻接的区域。区域定义中的邻接只基于4邻接或8邻接，不能考虑m邻接，老猿认为是在图像中，一个m邻接的连通集如果不同时是8邻接的连通集，则在图像中的区域可能会给人的感觉有断点，因为m邻接可以是两个对角的像素邻接。

对于两个区域R_i和R_j，他们联合形成一个连通集，则称两个区域邻接（adjacent）。不邻接（not adjacent）的区域称为不连通（disjoint）区域。

2.6、边界（ Boundaries）

假设一幅图像中含有k个不邻接的区域R1,R2,…,RK（为了不考虑边界的特殊处理假设这K个区域都不接触图像的边界），令R_U为这K个区域的并集，令R_U^c为R_U的补集（complement，即为图像中不在R_U中的像素集合），则称R_U中所有的点为图像的前景（foreground），R_U^c中的所有点图像的背景(background)。

区域R的边界（boundary，也称为边缘（border）或轮廓（contour））是这样一些点的集合，这些点与R的补集中的某些点邻近（adjacent），即区域的边界是该区域中至少有一个背景点邻近的像素集合（这里的邻近老猿理解为是整个图像的灰度值作为集合的8-邻接）。该边界称为区域的内边界（inner border），与此对应有外边界（outer border），区域的外边界也即区域补集（背景）的内边界。外边界形成了一个绕该区域的闭合通路（closed path）。

如果区域R就是图像本身，则定义这种情况下的边界为图像的第一行、第一列以及最后一行和最后一列的像素集合。

三、知识概要：距离度量（Distance Measures）

3.1、定义

对于像素p (x, y)、q (s, t)、z(v, w)和函数D，如果满足：

1. D(p,q)≥0【D(p,q)=0当且仅当p=q】
2. D(p,q)=D(q,p)
3. D(p,z)≤D(p,q)+D(q,z)

则成函数D为距离函数或距离度量（distance function or metric）。

3.2、欧几里德距离

欧几里德距离是一种距离度量，p (x, y)、q (s, t)之间的欧几里德距离（Euclidean distance，简称欧氏距离）定义为：

该式完全满足距离度量的定义。

对于欧式距离来说，距离点（x,y）的距离小于等于r的像素是以（x,y）为圆心r为半径的圆平面。

3.3、D₄距离

p (x, y)、q (s, t)之间的D₄距离（D₄ distance，又称为城市街区距离，city-block distance）定义如下：
D4（p,q） = |x-s|+|y-t|

该式完全满足距离度量的定义，因此也是一种距离度量。

距离点（x,y）D4距离小于等于r的像素形成一个中心在点（x,y）的菱形。如D4距离等于1的像素构成中心点的4邻域，D4距离小于等于2的像素组成类似如下轮廓：

       2
  	2  1  2
 2  1  0  1  2
  	2  1  2
  	   2  	

3.4、D₈距离

p (x, y)、q (s, t)之间的D₈距离（D₈ distance，又称为棋盘距离，chessboard distance）定义如下：
D8（p,q） = max(|x-s|,|y-t|)

该式同样完全满足距离度量的定义，因此也是一种距离度量。

距离点（x,y）D8距离小于等于r的像素形成一个中心在点（x,y）边长为2r+1的正方形。点（x,y）的D8距离为1的像素是点点（x,y）的8邻域。

四、小结和感悟

本文介绍了图像中像素的邻域关系，通过邻域关系中基于限定灰度值的集合定义了邻接关系，通过邻接可以构建像素间的通路，基于通路构建了像素间的连通关系和连通集，并进一步定义了图像的区域和边界。

如果一个函数满足图像像素间距离度量的定义，则该函数就是一个距离函数或距离度量，常见的距离有欧式距离、D₄距离、D₈距离。

通过这些内容的介绍，可以使得大家了解像素间的邻域、邻接、连通关系以及区域和边界的定义，明白像素间不同距离度量的距离计算方法。

本文介绍的内容是像素间的关系，通过这些定义了解邻域、邻接、连通以及区域和边界的概念，没有学习之前，老猿对这些知识可能有些模糊的感受，但真正的定义一点也不知道，对于理解图像处理来说，这些概念很重要。

另外《数字图像处理》中文版的翻译有些地方还是做得不好，这么多的内容，如果不熟悉图像处理并字斟句酌的审阅，这些情况很难发现，可以理解。相关翻译的问题在正文中已经用斜体字标注，有些地方已经单独进行了说明，希望对大家有所帮助。

更多图像处理请参考专栏《OpenCV-Python图形图像处理》及《图像处理基础知识》的介绍。

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