小波分析初学（三）

本篇重点讲一下小波变换的相关知识。

小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定而其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局域化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的分辨率。具有对信号的自适应性，被誉为数学显微镜。

（窗口大则分辨率就小）

其含义是：把一称为基本小波的函数做位移b后，再在不同尺度a下与待分析信号f(x)做内积。

其中，b只影响窗口在时间轴上的位置，而a不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，即再低频时小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；再高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变换缓慢而高频信号变换迅速的特点。

同时有如下结论：

1、根据图1.3，尺度大的时间窗口也大，所以把尺度理解为时间的话，尺度的倒数在一定意义上对应于函数的频率，即尺度越小，对应的频率越高，尺度越大，对应的频率越低。

2、任何时间节点上的小波时、频窗口大小都随频率的变化而变化。

3、测不准原理，时间、频率分辨率相互制约，不能同时提高。

4、小波母函数在频域上有带通性质，其伸缩平移可看做时一组带通滤波器，其品质因数不随尺度变化而变化（恒Q性质。）

（品质因数：通带宽度和中心频率的比值称为某一带通滤波器的品质因数。）

下面的内容提供给大家做进一步了解的：

小波变换特点和作用：

1、具有多分辨率，可以由粗到细地逐步观察信号。（时频图就是这样制成的，后面会有专门的文章写如何读时频图）

2、小波的频率域函数可以理解为带通滤波器在不同尺度a下对信号做滤波，有相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。

3、小波的时间域函数为有限支撑（也就是定义域确定有限），小波的频率域函数在频率上也比较集中，这样就可以使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，有利于检测信号的瞬态或奇异点。