0117数学-微分

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切线tangent

如何定义一条曲线的切线的？

如下图所示，蓝色曲线上有a、b两点,我们按住a点不动，然后把b点沿着蓝色曲线作为轨道向a滑动，相对应的横坐标轴上的b_x也会向a_x靠近，直线ab是蓝色曲线的割线，但从l₀到l₁、l₂、l₃，最终到达l₄的时候，原本的割线变为红色切线，a、b两点无限接近重合。

图-1

斜率slope

如上图所示，b_x虽然不断向a_x靠近，但永远不能重合，因为一旦a、b点重合，红色线的方向就变得神奇而无法确定。
同时我们也知道，曲线上一点a它的切线是唯一的，只可能是红色这条线而不可能是其他的线条。即切线的倾斜程度是固定的，称作切线的斜率。

图-2

这里的斜率其实就是方程y=kx+m中的k，也就是这个二项式的系数。

导数derivative

导数就是斜率，即a点的导数就是a点处切线的斜率。

我们把图-1放大一百万倍，如下图，如果这条红色的l₄就是a点的切线，那么我们可以得知斜率slop就是Δy除以Δx，大约是0.16。

图-3

Δ读作德尔塔，一般用来表示变化的量。也可以写作d，即dx或dy。那么就有导数的定义：

image.png

这里的f'(x₀)读作f导，它是f(x)对应的导数函数，如果我们已知曲线函数f(x)上某一点x₀，就可以利用这个公式取得切线斜率的近似值，近似的精度取决于Δx的取值，是0.01还是0.00001。

导数决定了斜率，决定了该点处曲线竖向变化的快慢。

微分differential

图-3的红色线肯定不是a点的切线，因为和曲线有a、b两个交点，所以是割线。

我们无论把画面放大多少倍，a、b点都不能重合，Δx和Δy也都不会为零，但它们越小，所得到的红色线条的斜率约接近切线的斜率。

Δx和Δy是永远无法真正找到的两个神奇数字，我们把它们叫做a点的x和y积分。

实际上我们并不关心Δx和Δy，我们只关心它们的比值，也就是斜率、导数。

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