MATLAB_数值计算_线性方程组

线性方程组百度百科
矩阵百度百科

• 同济版线性代数第六版ISBN：978-7-04-039661-4
• 数值计算方法（马东升）ISBN：978-7-111-51113-7
• 计算机求解线性方程组一般有直接法和迭代法两种方法：直接法是经过有限步算术运算，若计算过程中没有舍入误差可求得方程组精确解的方法；迭代法是用某种极限过程去逼近线性方程组精确解的方法。
• 为强调求解线性方程组和计算矩阵逆的区别，引入了非标准记号“/“和”\“（下图为对应的函数）
  
• 排列矩阵：单位矩阵经过行列交换得到的，他在每行或每列上有且仅有一个1，其他元素均为0
• 高斯消元法百度百科
• 顺序高斯消去法：
  基本思想：反复利用线性方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘一个方程后加至另一个方程，使方程组变成同解的上三角形方程组，然后再自上而下对上三角方程组求解。（分为”消去“和”回代“两个过程）
  
  （ 把经过n-1次消元将线性方程组化为上三角形方程组的计算过程叫做消元过程 ）

定理1：方程组稀疏矩阵的顺序主子式全不为0，则高斯消去法能实现方程组的求解。
定理2：设方程组Ax=b，如果系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则用高斯消去法求解时，主元素全不为0.
定理3：高斯消去法求解n阶线性方程组共需乘除法次数近似为(n^3)/3.
定理4：设线性方程组系数矩阵A对称且严格对角占优，则主元素全是列主元
定理5：矩阵A各阶主子式不为0，则可以唯一的分解成一个单位下三角阵L和一个非奇异的上三角阵U的乘积。

Some technical terms：

• 排列向量 permutation vector
• 反斜线 backward slash 正斜线 forward slash
• 主元 pivot 乘子 multiplier
• 上三角 upper triangular 下三角 unit lower triangular
• 前项消去 forward elimination
• 回代 back substitution
• LU 分解 LU factorization
• 三角分解 triangular decomposition
• 部分选主元 partial pivoting
• 相对剩余 relative residual
• 矩阵范数 matrix norm
• 奇异值分解 Singular Value Decomposition
• 稀疏度 sparsity
• 状态向量 state vector
• 幂法 power method
• 逆迭代 inverse iteration