「数据结构」算法效率度量--时间（空间）复杂度详解

目录

• 算法的基本概念

• 算法效率的度量

• 时间复杂度的分析实例

一、算法的基本概念

1、定义

算法（Algorithm）: 是对特定问题的问题求解步骤的一种描述。它是指令的有限序列,其中每条指令表示一个或多个操作。

2、算法的五个特性

• 有穷性。一个算法必须总在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成。

• 确定性。算法中每条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得到相同的输出。

• 有穷性。算法中描述的操作都可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现。

• 有穷性。一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定的对象的集合。

• 有穷性。一个算法有一个或多个输出，这些输出是与输入有着某种特定关系的量。、

3、“好算法”的4个目标

• 正确性。算法应能正确的解决问题。

• 可读性。算法应具有良好的可读性，以帮助人们理解。

• 健壮性。输入非法数据时，算法能适当地作出反应或进行处理，而不会产生莫名其妙的输出结果。

• 效率与低存储需求。效率是指算法执行的时间，存储量需求是指算法执行过程中所需要的最大存储空间，这两者都与问题的规模有关。

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二、算法效率的度量

算法效率的度量是通过时间复杂度和空间复杂度来描述的。

1、时间复杂度

注意：在实际的问题分析中，一般只分析最深层的循环语句的事件复杂度。

问题规模n：在一个算法中对其造成主要（时间上或空间上）的影响的变量n。

频度 ：是指一个语句在算法中被重复执行的次数。

T(n) ：算法中所有的语句频度之和记作T（n）,它是该算法问题规模n的函数，时间复杂度主要分析T（n）的数量级。

O(n)：语句频度总和T(n)的数量级。用数学表达式即T(n)与O(n)是同阶无穷大

最坏时间复杂度： 在最坏情况下的时间复杂度；

平均时间复杂度： 所有可能输入实例在等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。

最好时间复杂度。在最好的情况下，算法的时间复杂度。

一般情况下总是先考虑最坏时间复杂度，以保证算法的时间 复杂度不会超过这个最大值。

2、分析程序的时间复杂性遵循以下两条规则

• 加法规则。

  T(n) = T1(n) + T2(n) = O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n),g(n)));

• 乘法规则。

• T(n) = T1(n)T2(n) = O(f(n))×O(g(n)) = O(f(n)×g(n))

3、常见的渐进时间复杂度

口诀：常对幂指阶

O(1) ＜ O(㏒2(n)) ＜ O(n) ＜ O(n㏒2(n)) ＜ O(n²) ＜ O(n³) ＜ O(2ⁿ) ＜ O(n!) ＜ O(nⁿ)

4、空间复杂度（分析方法与时间复杂度大同小异）

算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它是问题规模n的函数。

S(n)=O(g(n))

一个程序在执行时除需要存储空间来存放本身所用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为实现计算所需信息的辅助空间。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，则只需分析除输入和程序之外的额外空间。

算法原地工作是指算法所需的辅助空间为常量，即O(1)

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三、时间复杂度的分析实例

1、常数阶O(1)

x=90;y=100;
while(y>0){
	if(x>100){
		x=x-10;
		y--;
	}
	else {
		x++;
	}
}

2、乘法规则O(mn)

for(int i=0;i

3、平方阶O(n²)

s=0;
for(int i=0;i

4、对数阶O(㏒3(n))

• 做法

  设while语句循环t次，则：

  i=1、3、9、27、81……

  t=0、1、2、3、4……

  立即推：i=3^t ==>(while 循环i<=n得出) 3^t

  所以有：T(n)=O(t)=O(㏒3(n))

i=1;
while(i<=n){
	i=i*3;
}