最新的学习笔记—《信息安全数学基础》

《信息安全数学基础》最新学习笔记(BUAA本科生教材)

摘要

这里是关于《信息安全数学基础》书的个人笔记和总结,包括将一些概念(整除、同余、群、环、域、多项式等代数学基础)重点记录下来,这样容易快速记忆一些重点,建立信息安全需要掌握的数学基础。然而,这里没有相应的证明,需要详细的证明可以翻书查阅。若有错误的地方,欢迎指正,本人将不断完善。(本人耗时一整天码字不易,不喜勿喷,希望对你有所帮助,仅供参考)

参考书籍《信息安全数学基础教程》(第2版),许春香 周俊辉等人编著。

附:也可直接下载PDF学习,可能里面对应的标注和内容更直观、清晰和完整。

一、整除与同余

定义1.1:假设 a 、 b a、b ab 是任意两个整数,其中 b b b 非零,若存在一个整数 q q q,使得
a = q b a=qb a=qb
称为 b b b能整除 a a a,或 a a a能被 b b b整除,记为 b ∣ a b|a ba,且 b b b a a a的因子, a a a b b b的倍数。

  • c > 0 c>0 c>0是两个不全为零的整数 a 、 b a、b ab的公因子,若 a 、 b a、b ab的任何公因子都整除c,则称为 a 、 b a、b ab最大公因子。记为 c = ( a , b ) c=(a, b) c=(a,b),或者 c = g c d ( a , b ) c=gcd(a, b) c=gcd(a,b)。假设 a 、 b a、b ab是两个非零的整数,则存在两个整数 u 、 v u、v uv使得 ( a , b ) = u a + v b (a, b)=ua+vb (a,b)=ua+vb
  • m > 0 m>0 m>0是两个整数 a 、 b a、b ab的公倍数,若 m m m整除 a 、 b a、b ab的任何公倍数,则 m m m称为 a 、 b a、b ab最小公倍数,记为 m = [ a , b ] m=[a, b] m=[a,b],或者 m = l c m ( a , b ) m=lcm(a, b) m=lcm(a,b)。有 [ a , b ] = ∣ a b ∣ ( a , b ) [a, b]=\frac {|ab|}{(a, b)} [a,b]=(a,b)ab,若 ( a , b ) = 1 (a, b)=1 (a,b)=1,则 [ a , b ] = ∣ a b ∣ [a, b]=|ab| [a,b]=ab

元素 a 、 b a、b ab互素的充要条件是,存在 u 、 v u、v uv使 u a + v b = 1 ua+vb=1 ua+vb=1,则由 ( a , b ) ∣ ( u a + v b ) (a, b)|(ua+vb) (a,b)(ua+vb),得 ( a , b ) ∣ 1 (a, b)|1 (a,b)1,所以 ( a , b ) = 1 (a, b)=1 (a,b)=1

  • 对于正整数 n n n和整数 a a a a − 1 m o d n a^{-1} mod n a1modn存在的充分必要条件 ( a , n ) = 1 (a, n)=1 (a,n)=1

如: a − 1 ( m o d n ) ⇒ a^{-1} \pmod n\Rightarrow a1(modn)存在整数 b b b 使得 a b ( m o d n ) = 1 ab \pmod n=1 ab(modn)=1

  • 例1 7 − 1 ( m o d 13 ) = ? 7^{-1}\pmod {13}=? 71(mod13)=解:因为 7 ∗ 2 ( m o d 13 ) = 1 7*2 \pmod {13} =1 72(mod13)=1,所以 7 − 1 ( m o d 13 ) = 2 7^{-1}\pmod {13} = 2 71(mod13)=2

定义1.2:设 x ∈ R x \in R xR ≤ x \leq x x的最大整数称为 x x x整数部分,记为 ⌊ x ⌋ \lfloor x\rfloor x。其中 ⌊ x ⌋ ≤ x ≤ ⌊ x ⌋ + 1 \lfloor x\rfloor\leq x\leq \lfloor x\rfloor+1 xxx+1

定义1.3:给定称为的正整数 m m m,若 m m m除整数 a 、 b a、b ab得相同的余数,即存在整数 q 1 q_{1} q1 q 2 q_{2} q2使得
a = q 1 m + r , b = q 2 m + r a=q_{1}m+r,b=q_{2}m+r a=q1m+rb=q2m+r
则称 a a a b b b关于模 m m m同余,记为
a ≡ b ( m o d m ) a\equiv b\pmod m ab(modm)
a a a b b b关于模 m m m同余的充分必要条件为: m ∣ ( a − b ) m|(a-b) m(ab),即 a = b + m t a=b+mt a=b+mt t t t是整数。

  • 第一章小结:(1) 重点记住”整除“和”被整除“的关系,通常为小的数整除大的数大的数小的数整除;(2) 注意 g c d = ( a , b ) gcd=(a, b) gcd=(a,b)表示最大公因子(greatest common divisor, gcd), l c m = [ a , b ] lcm=[a, b] lcm=[a,b]表示最小公倍数(least common multiple, lcm);(3)需要注意定义1.2中是 ⌊ x ⌋ \lfloor x\rfloor x不是 [ x ] [x] [x]

二、群

2.1 群

定义2.1:设 S S S是一个非空集合,如果在 S S S上定义了一个代数运算,称为乘法 ·,记 a ⋅ b a·b ab。对于乘法,根据习惯可省略乘号写成 a b ab ab ,且满足下列条件,则 ( S , ⋅ ) (S, ·) (S,) 为一个半群

  • S S S关于乘法 ·封闭的,即对于 S S S中任意元素 a 、 b a、b ab,有 a ⋅ b a·b ab 属于 S S S
  • S S S对于乘法 ·结合律成立,即对于 S S S中任意元素 a 、 b 、 c a 、 b、c abc ,有 a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c a·(b·c)=(a·b)·c a(bc)=(ab)c

则用”乘法“定义的群称为乘法半群;用”加法“定义的群称为加法半群

  • 半群必须满足封闭性结合律
  • 另外还要满足左单元元 e ⋅ ( e ⋅ a = a ) e·(e·a=a) e(ea=a)左逆元 b ⋅ ( b ⋅ a = e ) b·(b·a=e) b(ba=e)
  • 若群中的运算满足交换律,则这个群称为交换群阿贝尔(Abel)群
  • 若群 G G G中元素的个数是无限多个,称为 G G G是无限群,若有限个,称为有限群 G G G中元素的个数称为群的记为 ∣ G ∣ |G| G

2.2 子群

定义2.2:一个群 G G G的一个子集 H H H如果对于 G G G的乘法构成一个群,则称为 G G G子群

  • (1) 对于任意群 G G G至少有两个子群:一个是 G G G本身,另一个是包含单位元的子集 e {e} e,它们称为平凡子群,其他称为真子群
    • G G G的单位元和子集H的单位元是同一的
    • a ∈ H a\in H aH,且 a − 1 a^ {-1} a1 a a a G G G 中的逆元,则 a − 1 ∈ H a^ {-1}\in H a1H
  • (2) 非空子集H构成一个子群的充分必要条件是:
    • 对于任意的 a , b ∈ H a,b\in H abH,有 a b ∈ H ab\in H abH(封闭性)
    • 对于任意的 a ∈ H a\in H aH,有 a − 1 ∈ H a^{-1}\in H a1H(逆元)
  • (3)一个集合 A A A到另一个集合 B B B的映射 f f f是对于任意 a ∈ A a\in A aA,都有唯一确定的
    b = f ( a ) ∈ B b=f(a)\in B b=f(a)B
    与之对应。 b b b称为 a a a f f f下的,而 a a a称为 b b b f f f下的原像,如下图。

映射关系

对于任意 a , b ∈ A a,b\in A abA ,如果 a ≠ b a\neq b a=b ,有 f ( a ) ≠ f ( b ) f(a)\neq f(b) f(a)=f(b),则称为 f f f单射。对于任意 b ∈ B b\in B bB ,总有 a ∈ A a\in A aA,使 f ( a ) = b f(a)=b f(a)=b,则称 f f f满射。既是满射又是单射的映射称为一一映射。单射的含义是 A A A中的不同的元素在B中有不同的像。满射是 B B B中的每个元素都成为 A A A中元素的一个

  • 第二章小结:(1) 要理解半群和群G的区别,半群要满足结合律和封闭性,群则是不仅要满足结合律和封闭性,而且需要满足存在左(右)单位元和左(右)逆元;(2) 理解封闭性、逆元的含义,以及”像“和”原像“等概念。

三、循环群与群的结构

3.1 循环群

定义3.1:如果一个群 G G G里的元素都是某一个元素 g g g,则 G G G称为循环群 g g g称为 G G G的一个生成元。由 g g g生成的循环群记为 ( g ) (g) (g) ⟨ g ⟩ \langle g\rangle g

  • 无限循环群可表示为:{ . . . , g − 2 , g − 1 , g 0 , g 1 , g 2 , . . . ..., g^{-2}, g^{-1}, g^{0}, g^{1}, g^{2},... ...,g2,g1,g0,g1,g2,...},其中 g 0 = e g^{0}=e g0=e
  • 有限n阶循环群可表示为:{ g 0 , g 1 , g 2 , . . . , g n g^{0}, g^{1}, g^{2},..., g^{n} g0,g1,g2,...,gn}, 其中 g 0 = e g^{0}=e g0=e

循环群的几个性质:

  • (1)循环群是交换群
  • (2) n n n阶循环群中, g n = e g^{n}=e gn=e
  • (3)由于 n n n阶循环群中 g n = e g^{n}=e gn=e,则可以得到:设 i 、 j i、j ij是任意整数,如果 i = j ( m o d n ) i=j\pmod n i=j(modn),则
    g i = g j g^{i}=g^{j} gi=gj
    g i g^{i} gi逆元为 g − i = g n − i g^{-i}=g^{n-i} gi=gni

3.2 剩余类群

特殊的循环群——剩余类群

由同余概念,将全体整数 Z Z Z进行分类,设 m m m正整数,把 m m m同余的整数归为一类,即可表示为
a = q m + r , 0 ⩽ r < m , q = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . a=qm+r,0\leqslant ra=qm+r0r<mq=0,±1,±2,...
的整数是一个模 m m m为一类,称为剩余类,剩余类中的每个数都称为该类的剩余代表 r r r称为该类的最小非负剩余

  • 例如模8的剩余类为
    0 ‾ = \overline{0}= 0={ 0 , ± 8 , ± 2 × 8 , ± 3 × 8 , . . . 0,\pm8, \pm2\times 8, \pm3\times8,... 0,±8,±2×8,±3×8,... }
    1 ‾ = \overline{1}= 1={ 1 , 1 ± 8 , 1 ± 2 × 8 , 1 ± 3 × 8 , . . . 1,1\pm8, 1\pm2\times 8, 1\pm3\times8,... 1,1±8,1±2×8,1±3×8,... }
    2 ‾ = \overline{2}= 2={ 2 , 2 ± 8 , 2 ± 2 × 8 , 2 ± 3 × 8 , . . . 2,2\pm8, 2\pm2\times 8, 2\pm3\times8,... 2,2±8,2±2×8,2±3×8,... }

    7 ‾ = \overline{7}= 7={ 7 , 7 ± 8 , 7 ± 2 × 8 , 7 ± 3 × 8 , . . . 7,7\pm8, 7\pm2\times 8, 7\pm3\times8,... 7,7±8,7±2×8,7±3×8,... }

定理3.1:模 m m m的全体剩余类集合对于剩余类加法构成 m m m阶循环群。注意对于加法,元素的“”就是元素的连加

  • 第三章小结:(1)需要记住循环群的几个性质;(2)剩余类往往在其上方加一横杠,即 0 ‾ 、 1 ‾ 、 2 ‾ \overline{0}、\overline{1}、\overline{2} 012这种方式。

四、环

定义4.1:设 R R R是一非空集合,在 R R R上定义了加法乘法两种代数运算,分别记为“ + + +”和“ ⋅ · ,如果R具有如下性质:

  • (1) R R R 对于加法 + + +是一个交换群
  • (2) R R R 对于乘法 ⋅ · 是封闭的
  • (3) 乘法满足结合律,即对于任意 a 、 b 、 c ∈ R a、b、c\in R abcR,有 a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c a·(b·c)=(a·b)·c a(bc)=(ab)c
  • (4) 分配律成立,即对于任意 a 、 b 、 c ∈ R a、b、c\in R abcR,有 a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c a·(b+c)=a·b+a·c a(b+c=ab+ac,(b+c)·a=b·a+c·a。

( R , + , ⋅ ) (R, +, ·) (R,+,)为一个环环对于加法构成交换群,对于乘法满足封闭性和结合律,又对加法和乘法满足分配律。如果环 R R R关于乘法还满足交换律,即对于任意,总有,则称 R R R交换环

全体整数集合 Z Z Z构成的环是交换环

由于里存在两种运算,因此把加法群单位元称为零元,记 0 0 0,元素的加法逆元称为负元,记 − a -a a。而继续把乘法单位元和乘法逆元分别称为单位元逆元,用 1 1 1 a − 1 a^{-1} a1表示。

定义4.2:如果在一个环 R R R a ≠ 0 a\neq 0 a=0 b ≠ 0 b\neq 0 b=0,但
a b = 0 ab=0 ab=0

则称 a a a是这个环的一个左零因子 b b b是这个环的一个右零因子。显然交换环里每个左零因子同时是右零因子。若左右零因子同时存在,则称为零因子

4.1 整环、除环与域

定义4.3:如果一个环 R R R满足下列条件:

  • (1) R R R交换环
  • (2) 存在单位元,且 1 ≠ 0 1\neq 0 1=0
  • (3) 没有零因子

R R R称为整环整数环、全体有理数、全体实数和全体复数都是整环
条件(2)中 1 ≠ 0 1\neq 0 1=0意味着环中不止一个元素,或存在非零元

定义4.4:若一个环 R R R存在非零元,而且全体非零元构成一个乘法群,则 R R R称为除环。全体**有理数 Q Q Q、全体实数 R R R和全体复数 C C C**对于普通的加法和乘法都是除环

定义4.5一个交换除环称为一个域 。如果一个环 F F F存在非零元,而且全体非零元构成一个乘法交换群, F F F称为一个域。全体有理数 Q Q Q、全体实数 R R R和全体复数 C C C对于普通的加法和乘法都是域

p p p 是素数时,模 p p p剩余类集合对于剩余类加法和乘法构成一个域,记为 G F ( p ) GF(p) GF(p)

从群的角度出发,则一个集合 F F F是一个域应该满足以下3个条件:

  • (1) 构成加法交换群
  • (2) 非零元构成乘法交换群
  • (3) 满足分配律

从域、除环、无零因子环和环的定义,可以知道域一定是除环除环一定是无零因子环

域、除环、无零因子和环的关系

4.2 环的同态与理想

定义4.6 ( R , + , ⋅ ) (R, +, ·) (R,+,) ( R ′ , ⊕ , ⊗ ) (R^{'},\oplus, \otimes) (R,,)是两个环,如果存在 R R R R ′ R^{'} R的一个映射 f f f,加法和乘法都在 f f f 下得到保持,即对任意
f ( a b ) = f ( a ) f ( b ) f(ab)=f(a)f(b) f(ab)=f(a)f(b)
f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f(a+b)=f(a)+f(b) f(a+b)=f(a)+f(b)

则称 f f f R R R R ′ R^{'} R同态映射,或简称同态。如果 f f f单射,则称为 f f f单同态。如果 f f f满射,则称为 f f f满同态。如果 f f f一一映射,则称 f f f 是同构(映射),此时称 ( R , + , ⋅ ) (R, +, ·) (R,+,) ( R ′ , ⊕ , ⊗ ) (R^{'},\oplus, \otimes) (R,,)是同构,并用 R ≅ R ′ R\cong R^{'} RR表示。

  • 第四章小结:(1) 整环与除环的区别:除环少了交换性,增加了乘法群。相同处:都有单位元,都是无零因子环;不同处:前者可以是零环,而后者不行;(2) 整环的优点(可换性)与除环的优点(可逆性)凑合在一起,就成了——域;(3) 集合F是一个域需要满足三个条件:构成加法交换群、非零元构成乘法交换群和满足分配律;(4)域一定是除环,除环包含了域。

五、多项式环与有限域

5.1 多项式环

定义5.1:设 F F F是一个域,设 a ≠ 0 a\neq 0 a=0。则称
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 ( a i ∈ F , n 是 非 负 整 数 ) f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}(a_{i}\in F, n是非负整数) f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0aiF,n)

  • (1) f ( x ) f(x) f(x) F F F上的一元 n n n次多项式,其中 x x x是一个未定元。
  • (2) 称 a n x n a_{n}x^{n} anxn f ( x ) f(x) f(x)首项 n n n是多项式 f ( x ) f(x) f(x)次数,记 d e g ( f ( x ) ) = n deg(f(x))=n deg(f(x))=n
  • (3) 如果 a n = 1 a_{n}=1 an=1,则称 f ( x ) f(x) f(x)首一多项式
  • (4) 如果 f ( x ) = a n ≠ 0 f(x)=a_{n}\neq 0 f(x)=an=0,则约定 d e g ( f ( x ) ) = 0 deg(f(x))=0 deg(f(x))=0,为零次多项式
  • (5) F F F上的全体一元多项式的集合 F ( x ) F(x) F(x)表示。
  • (6) 当 a i a_{i} ai全为 0 0 0时,即 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0,称为零多项式

G F ( 2 ) GF(2) GF(2)上的两个多项式 ( G F ( 2 ) (GF(2) (GF(2)的两个元素表示为 0 0 0 1 1 1)

定理5.1 F [ x ] F[x] F[x]是具有单位元的整环

定义5.2:对于 f ( x ) 、 g ( x ) ∈ F [ x ] f(x)、g(x)\in F[x] f(x)g(x)F[x] f ( x ) ≠ 0 f(x)\neq 0 f(x)=0。如果存在 q ( x ) ∈ F [ X ] q(x)\in F[X] q(x)F[X],使得 g ( x ) = q ( x ) f ( x ) g(x)=q(x)f(x) g(x)=q(x)f(x),则 f ( x ) f(x) f(x)整除 g ( x ) g(x) g(x),记 f ( x ) ∣ g ( x ) f(x)|g(x) f(x)g(x) f ( x ) f(x) f(x)称为 g ( x ) g(x) g(x)因式。如果 ( f ( x ) ) k ∣ g ( x ) (f(x))^{k}|g(x) (f(x))kg(x),但 ( f ( x ) ) k + 1 ∣ g ( x ) (f(x))^{k+1}|g(x) (f(x))k+1g(x)不能整除g(x),则 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x) k k k重因式

定理5.2欧几里得算法。对于多项式 f ( x ) 、 g ( x ) f(x)、g(x) f(x)g(x),其中 d e g ( f ( x ) ) ⩽ d e g ( g ( x ) ) deg(f(x))\leqslant deg(g(x)) deg(f(x))deg(g(x))。反复进行欧几里得算法,得到下列方程式:
g ( x ) = q 1 ( x ) f ( x ) + r 1 ( x ) , d e g ( r 1 ( x ) ) < d e g ( f ( x ) ) g(x)=q_{1}(x)f(x)+r_{1}(x), deg(r_{1}(x))g(x)=q1(x)f(x)+r1(x),deg(r1(x))<deg(f(x))
f ( x ) = q 2 ( x ) r 1 ( x ) + r 2 ( x ) , d e g ( r 2 ( x ) ) < d e g ( r 1 ( x ) ) f(x)=q_{2}(x)r_{1}(x)+r_{2}(x), deg(r_{2}(x))f(x)=q2(x)r1(x)+r2(x),deg(r2(x))<deg(r1(x))
r 1 ( x ) = q 3 ( x ) r 2 ( x ) + r 3 ( x ) , d e g ( r 3 ( x ) ) < d e g ( r 2 ( x ) ) r_{1}(x)=q_{3}(x)r_{2}(x)+r_{3}(x), deg(r_{3}(x))r1(x)=q3(x)r2(x)+r3(x),deg(r3(x))<deg(r2(x))

r m − 2 ( x ) = q m ( x ) r m − 1 ( x ) + r m ( x ) , d e g ( r m ( x ) ) < d e g ( r m − 1 ( x ) ) r_{m-2}(x)=q_{m}(x)r_{m-1}(x)+r_{m}(x), deg(r_{m}(x))rm2(x)=qm(x)rm1(x)+rm(x),deg(rm(x))<deg(rm1(x))
r m − 1 ( x ) = q m + 1 ( x ) r m ( x ) + r 3 ( x ) r_{m-1}(x)=q_{m+1}(x)r_{m}(x)+r_{3}(x) rm1(x)=qm+1(x)rm(x)+r3(x)于是有 r m ( x ) = ( f ( x ) , g ( x ) ) r_{m}(x)=(f(x),g(x)) rm(x)=(f(x),g(x))
定义5.3:设 p ( x ) ∈ F [ x ] p(x)\in F[x] p(x)F[x]为一多项式,且 d e g ( p ( x ) ) ≥ 1 deg(p(x))\geq 1 deg(p(x))1,如果 p ( x ) p(x) p(x) F [ x ] F[x] F[x]内的因式仅有零次多项式 c p ( x ) ( c ≠ 0 ∈ F ) cp(x)(c\neq 0 \in F) cp(x)(c=0F) ,则称 p ( x ) p(x) p(x) F [ x ] F[x] F[x]内的一个不可约多项式,否则称为可约多项式

G F ( 2 ) [ x ] GF(2)[x] GF(2)[x](二元域上,判断一次因式,只需把 0 0 0 1 1 1代入,判断是否为 0 0 0,为 0 0 0则为可约,不为 0 0 0不可约)四次以内的不可约多项式。

  • (1) 0次,多项式为1;
  • (2) 1次,多项式为 x , x + 1 x, x+1 x,x+1
  • (3) 2次,多项式为 x 2 + x + 1 x^{2}+x+1 x2+x+1
  • (4) 3次,多项式为 x 3 + x 2 + 1 , x 3 + x + 1 x^{3}+x^{2}+1, x^{3}+x+1 x3+x2+1,x3+x+1
  • (5) 4次,多项式为 x 4 + x + 1 , x 4 + x 3 + 1 , x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 x^{4}+x+1, x^{4}+x^{3}+1, x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 x4+x+1,x4+x3+1,x4+x3+x2+x+1

G F ( 2 ) [ x ] GF(2)[x] GF(2)[x]上有 ( f ( x ) + g ( x ) ) 2 = ( f ( x ) ) 2 + ( g ( x ) ) 2 (f(x)+g(x))^{2}=(f(x))^{2}+(g(x))^{2} (f(x)+g(x))2=(f(x))2+(g(x))2

5.2 多项式剩余类环

定义5.4:设 f ( x ) ∈ F [ x ] f(x)\in F[x] f(x)F[x]是首一多项式。对于 a ( x ) 、 b ( x ) ∈ F [ x ] a(x)、b(x)\in F[x] a(x)b(x)F[x],如果 f ( x ) f(x) f(x) a ( x ) 、 b ( x ) a(x)、b(x) a(x)b(x) 得相同的余式,即
a ( x ) = q 1 ( x ) f ( x ) + r ( x ) a(x)=q_{1}(x)f(x)+r(x) a(x)=q1(x)f(x)+r(x)
b ( x ) = q 2 ( x ) f ( x ) + r ( x ) b(x)=q_{2}(x)f(x)+r(x) b(x)=q2(x)f(x)+r(x)

则称 a ( x ) a(x) a(x) b ( x ) b(x) b(x)关于 f ( x ) f(x) f(x)模同余,记为
a ( x ) ≡ b ( x ) ( m o d f ( x ) ) a(x)\equiv b(x)\pmod {f(x)} a(x)b(x)(modf(x))
定理5.3:设 f ( x ) ∈ F [ x ] f(x)\in F[x] f(x)F[x]是一个首一多项式,且 d e g ( f ( x ) ) > 0 deg(f(x))>0 deg(f(x))>0,则 F [ x ] ( m o d f ( x ) ) F[x]\pmod {f(x)} F[x](modf(x))构成具有单位元的交换环,称为多项式剩余类环

定理5.4:如果 f ( x ) f(x) f(x) F F F上的首一不可约多项式,则 F [ x ] ( m o d f ) ( x ) F[x]\pmod f(x) F[x](modf)(x)构成有限域。

5.3 有限域

定义5.5:有限个元素构成的域称为有限域或 G a l o i s Galois Galois(伽罗瓦)域。域中元素的个数称为有限域的

  • 例:当 p p p是素数时,模 p p p剩余类集合
    { 0 ‾ , 1 ‾ , 2 ‾ , . . . , p − 1 ‾ } \lbrace \overline{0}, \overline{1},\overline{2}, ..., \overline{p-1} \rbrace { 0,1,2,...,p1}
    构成 p p p阶有限域 G F ( p ) GF(p) GF(p)

定义5.6 q q q阶有限域中阶为 q − 1 q-1 q1的元素称为本原域元素,简称本原元

定理5.5有限域中一定含有本原元。在一个无零因子环 R R R里所有非零元的加法阶都相同。当加法阶有限时,它是一个素数

定义5.7:域中非零元的加法阶称为环的特征,当加法阶为无限大时,称特征为 0 0 0。如果一个域F不再含有真子集作为 F F F的子域,则 F F F为素域

定理5.6:阶为素数的有限域必为素域。

  • (1) 素数 p p p阶域的特征为 p p p
  • (2) 任何素数 p p p阶域与 G F ( 2 ) GF(2) GF(2)同构。

定理5.7:有限域的阶必为其特征之幂。一般有限域记为 G F ( p m ) GF(p^{m}) GF(pm),其中 p p p是域的特征, m m m是正整数。由于特征总是素数,则有限域的阶总为素数的幂。

  • 第五章小结:(1)要注意零次多项式是只有常数项的多项式,零多项式是等于0;(2) 欧几里得和不可约多项式非常重要,需要多加深理解;(3)有限域则是必须掌握的知识点。

六、同余式

6.1 剩余系

回顾剩余类:设 m m m是正整数, m m m同余的全体整数是一个模 m m m剩余类,即可表示为
a = q m + r , 0 ⩽ r < m , q = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . a=qm+r,0\leqslant ra=qm+r0r<mq=0,±1,±2,...

的整数是一个模 m m m为一类,称为剩余类,剩余类中的每个数都称为该类的剩余代表 r r r称为该类的最小非负剩余

定义6.1:从模 m m m剩余类中各取一个代表,则称这些代表的集合为模 m m m的一个完全剩余系

定义6.2:如果一个模 m m m的剩余类里面的数与m互素,则称它为与 m m m互素的剩余类。从与模 m m m互素的每个剩余类中各取一个数构成的集合称为模 m m m的一个简化剩余系

定理6.1:模 m m m剩余类环中与 m m m互素的剩余类构成乘法群。

欧拉函数 φ ( m ) \varphi (m) φ(m)表示小于或等于 m m m的正整数中 m m m互质的数的数量。例如 φ ( 8 ) = 4 \varphi (8)=4 φ(8)=4 ,因为 1 、 3 、 5 、 7 1、3、5、7 1357均和 8 8 8互质(互素)。 m m m为质数时 φ ( m ) = m − 1 \varphi (m)=m-1 φ(m)=m1 ,以及 φ ( p k ) = p k ( 1 − 1 p ) \varphi (p^{k})=p^{k}(1-\frac 1p) φ(pk)=pk(1p1)

(欧拉定理):设 m m m是正整数,如果 ( r , m ) = 1 (r,m)=1 (r,m)=1 ,则
r φ ( m ) ≡ 1 ( m o d m ) r^{\varphi (m)} \equiv 1\pmod m rφ(m)1(modm)

(费马定理):如果 p p p是素数,则
r p ≡ r ( m o d p ) r^{p} \equiv r\pmod p rpr(modp)

6.2 中国剩余定理

通常中国剩余定理是求解同余式组的解,例
x ≡ b 1 ( m o d m ) 1 x\equiv b_{1}\pmod m_{1} xb1(modm)1
x ≡ b 2 ( m o d m ) 2 x\equiv b_{2}\pmod m_{2} xb2(modm)2
⋮ \vdots
x ≡ b k ( m o d m ) k x\equiv b_{k}\pmod m_{k} xbk(modm)k

(中国剩余定理):设 m 1 , m 2 , … , m k m_{1} , m_{2}, \ldots, m_{k} m1,m2,,mk两两互素,则上面的同余式组有唯一解
x ≡ M 1 − 1 M 1 b 1 + M 2 − 1 M 2 b 2 + ⋮ + M k − 1 M k b k ( m o d m ) x\equiv M_1^{-1}M_1b_1+M_2^{-1}M_2b_2+\vdots +M_k^{-1}M_kb_k\pmod m xM11M1b1+M21M2b2++Mk1Mkbk(modm)
其中 m = m 1 m 2 … m k m=m_1m_2\ldots m_k m=m1m2mk, M 1 = m m i M_1=\frac mm_i M1=mmi M 1 − 1 M 1 ≡ 1 ( m o d m i ) M_1^{-1}M_1\equiv 1\pmod {m_i} M11M11(modmi) i = 1 , 2 , . . . , k i=1,2,...,k i=1,2,...,k

  • :求解以下同余式组的解
    x ≡ 2 ( m o d 3 ) x\equiv 2\pmod 3 x2(mod3)
    x ≡ 3 ( m o d 5 ) x\equiv 3\pmod 5 x3(mod5)
    x ≡ 2 ( m o d 7 ) x\equiv 2\pmod 7 x2(mod7)
    解答过程如下:
    m 1 = 3 , m 2 = 5 , m 3 = 7 , m = 3 × 5 × 7 = 105 m_1=3, m_2=5, m_3=7, m=3\times 5\times7=105 m1=3,m2=5,m3=7,m=3×5×7=105
    M 1 = 5 × 7 = 35 , M 1 − 1 = 2 ( m o d 3 ) M_1=5\times 7=35, M_1^{-1}=2\pmod 3 M1=5×7=35,M11=2(mod3)
    M 2 = 3 × 7 = 21 , M 2 − 1 = 1 ( m o d 5 ) M_2=3\times 7=21, M_2^{-1}=1\pmod 5 M2=3×7=21,M21=1(mod5)
    M 3 = 3 × 5 = 15 , M 3 − 1 = 1 ( m o d 7 ) M_3=3\times 5=15, M_3^{-1}=1\pmod 7 M3=3×5=15,M31=1(mod7)
    x ≡ M 1 − 1 M 1 b 1 + M 2 − 1 M 2 b 2 + M 3 − 1 M 3 b 3 ≡ 2 × 35 × 2 + 1 × 21 × 3 + 1 × 15 × 2 ≡ 23 ( m o d 15 ) x\equiv M_1^{-1}M_1b_1+M_2^{-1}M_2b_2+M_3^{-1}M_3b_3\equiv 2\times35\times2+1\times21\times3+1\times 15\times2\equiv 23\pmod {15} xM11M1b1+M21M2b2+M31M3b32×35×2+1×21×3+1×15×223(mod15)
  • 第六章小结:相同剩余的一个剩余类中有一个元素与 m m m互素,则其中所有元素都与 m m m互素。

七、平方剩余

定义7.1:设 p p p是奇素数,即大于2的素数,如果二次同余式

有解, a a a称为模 p p p平方剩余,否 a a a称为模 p p p平方非剩余。有些也将平方剩余和平方非剩余分别称为二次剩余二次非剩余

  • 例:求出 p = 5 、 7 p=5、7 p=57时的平方剩余和平方非剩余。
    解: p = 5 p=5 p=5时,由于
    1 2 ≡ 1 ( m o d 5 ) 1^{2}\equiv 1\pmod 5 121(mod5)
    2 2 ≡ 4 ( m o d 5 ) 2^{2}\equiv 4\pmod 5 224(mod5)
    3 2 ≡ 4 ( m o d 5 ) 3^{2}\equiv 4\pmod 5 324(mod5)
    4 2 ≡ 1 ( m o d 5 ) 4^{2}\equiv 1\pmod 5 421(mod5)
    所以 1 、 4 1、4 14是模 5 5 5的平方剩余,而 2 、 3 2、3 23是模 5 5 5的平方非剩余
    p = 7 p=7 p=7时,由于
    1 2 ≡ 1 ( m o d 7 ) 1^{2}\equiv 1\pmod 7 121(mod7)
    2 2 ≡ 4 ( m o d 7 ) 2^{2}\equiv 4\pmod 7 224(mod7)
    3 2 ≡ 2 ( m o d 7 ) 3^{2}\equiv 2\pmod 7 322(mod7)
    4 2 ≡ 2 ( m o d 7 ) 4^{2}\equiv 2\pmod 7 422(mod7)
    5 2 ≡ 4 ( m o d 7 ) 5^{2}\equiv 4\pmod 7 524(mod7)
    6 2 ≡ 1 ( m o d 7 ) 6^{2}\equiv 1\pmod 7 621(mod7)
    所以 1 、 2 、 4 1、2、4 124是模 7 7 7的平方剩余,而 3 、 5 、 6 3、5、6 356是模 7 7 7的平方非剩余。

定理7.1:设 p p p是奇素数。在模 p p p的简化剩余系中, p − 1 2 \frac {p-1}2 2p1个平方剩余, p − 1 2 \frac {p-1}2 2p1个平方非剩余

(欧拉判别式):设 p p p是奇素数, ( a , p ) = 1 (a, p)=1 (a,p)=1 a a a是模 p p p平方剩余的充分必要条件
a p − 1 2 ≡ 1 ( m o d p ) a^{\frac {p-1}2}\equiv 1\pmod p a2p11(modp)
a a a是模 p p p平方非剩余的充分必要条件
a p − 1 2 ≡ − 1 ( m o d p ) a^{\frac {p-1}2}\equiv -1\pmod p a2p11(modp)

7.1 勒让德符号

由于在模乘法的计算过程中需要反复的模乘运算,上节平方剩余与平方非剩余的欧拉判别法当 p p p比较大时并不方便,例如判别286在模563下是否是平方剩余,计算量非常大。而勒让德符号判别是否是平方剩余是非常有效

定义7.2 p p p是奇素数 , a a a是整数。勒让德(Legendre)符号( a p \frac ap pa)定义如下:
( a p ) = { 1 , a 是模 p 的平方剩余 − 1 , a 是模 p 的非平方剩余 0 , a 能够被 p 整除,即 p ∣ a ( \frac ap)= \begin{cases} 1, & \text{$a$是模$p$的平方剩余} \\ -1, & \text{$a$是模$p$的非平方剩余}\\ 0, & \text{$a$能够被$p$整除,即$p|a$} \end{cases} (pa)=1,1,0,a是模p的平方剩余a是模p的非平方剩余a能够被p整除,即pa
定理7.2 p p p是奇素数, a a a是整数,则
( a p ) = a p − 1 2 ( m o d p ) (\frac ap)=a^{\frac {p-1}2}\pmod p (pa)=a2p1(modp)
勒让德符号具有下列性质:

  • (1) ( 1 p ) = 1 , ( − 1 p ) = ( − 1 ) p − 1 2 (\frac 1p)=1, (\frac {-1}p)=(-1)^{\frac {p-1}2} (p1)=1,(p1)=(1)2p1
  • (2) 如果 a ≡ b ( m o d p ) a\equiv b\pmod p ab(modp),则 ( a p ) = ( b p ) (\frac ap)=(\frac bp) (pa)=(pb)
  • (3) ( a + p p ) = ( a p ) (\frac {a+p}p)=(\frac ap) (pa+p)=(pa)
  • (4) 如果 ( a , p ) = 1 (a, p)=1 (a,p)=1,则 ( a 2 p ) = 1 (\frac {a^2}p)=1 (pa2)=1
  • (5) ( a 1 a 2 . . . a n p ) = ( a 1 p ) ( a 2 p ) . . . ( a n p ) (\frac {a_1a_2...a_n}p)=(\frac {a_1}p)(\frac {a_2}p)...(\frac {a_n}p) (pa1a2...an)=(pa1)(pa2)...(pan)

定理7.3:(二次互反律)如果 p 、 q p、q pq都是奇素数, ( p , q ) = 1 (p, q)=1 (p,q)=1 ,则 ( q p ) = ( − 1 ) p − 1 2 q − 1 2 ( p q ) (\frac qp)=(-1)^{\frac {p-1}2\frac {q-1}2}(\frac pq) (pq)=(1)2p12q1(qp)

  • 第七章小结:使用勒让德符号的计算过程中,一定要注意 p p p是奇素数。

八、总结

基本感念比较多,而且特别多的定义和定理,需要先记住慢慢理解,并结合书本上的证明加深理解。

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