《FINITE FIELDS FOR COMPUTER SCIENTISTS AND ENGINEERS》课后习题答案—Chapter 3

《FINITE FIELDS FOR COMPUTER SCIENTISTS AND ENGINEERS》课后习题答案系列

Chapter 3：Unique Factorization in Euclidean Domains《欧几里得环的唯一因子分解》

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前言

本系列是对Robert J.McEliece写的《FINITE FIELDS FOR COMPUTER SCIENTISTS AND ENGINEERS》书中课后习题进行解答，该书是密码学有限域必读的书籍，想深入研究密码学的学者建议通读。以下是作者和其他同学做过之后整理的答案，仅供参考！

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提示：以下是本篇文章正文内容，下面答案可供参考

第三章 课后习题及答案

3.1 习题1

答：由于D无零因子，对任意的$f(x),g(x)\in D$且$f(x)\ne 0,g(x)\ne 0,deg(f(x),g(x))=deg(f(x))+deg(g(x))$。因为，对于0中任意单位$\epsilon (x)$，有$deg(\epsilon (x))\le deg(1)=0,\epsilon (x)\ne 0$，所以$deg(\epsilon (x))=0$。因为$\epsilon (x)$的系数为$\mathbb{F}$中的元素，则D中单位即为$\mathbb{F}$中所有非零元。

3.2 习题2

答：首先证明$g(ab)=g(a)g(b),ab=(a_1+a_{2}i,b_1+b_{2}i)=a_1{b}_1-a_2{b}_2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i$，所以有$g(ab)=a_1^2{b}_1^2+a_1^2{b}_2^2+a_2^2{b}_1^2+a_2^2{b}_2^2=g(a)g(b)$，对$\mathbb{Z}[i]$中任意单位$\epsilon$,有$g(\epsilon )g({\epsilon }^{-1})=g(1)=1$。因为$g(\epsilon )\in \mathbb{Z}$，所以$g(\epsilon )=\pm 1$,经验证可知，$\pm 1,\pm i$都是单位，且$\mathbb{Z}[i]$中单位只有$\pm 1,\pm i$。

3.3 习题3

答：证明等价关系$\Rightarrow$自反性，对称性和传递性。

• 1）自反性：$a=1\cdot a$;
• 2）对称性：若$\epsilon$为单位，$a=\epsilon \cdot b$,则$b={\epsilon }^{-1}a$；
• 3）传递性：若${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$为单位，$a={\epsilon }_{1}b,b={\epsilon }_{2}c$，则$a={\epsilon }_1{\epsilon }_{2}c$，且${\epsilon }_1{\epsilon }_2$也为单位。

3.4 习题4

答：

• 1）必要性：因为$1=\epsilon {\epsilon }^{-1}$,且$\epsilon \ne 0$,所以$g(\epsilon )\le g(\epsilon {\epsilon }^{-1})=g(1)$;因为$\epsilon =1\cdot \epsilon$，且$\epsilon \ne 0$，所以$g(1)\le g(1\cdot \epsilon )=g(\epsilon )$;所以，$g(1)=g(\epsilon )$。
• 2）充分性：做带余除法，$1=q\epsilon +r$，假设$r\ne 0$，则$g(r)<g(\epsilon )=g(1)$；因为$g(r)=g(r\cdot 1)\ge g(1)$，矛盾，所以$r=0,q\epsilon =\epsilon q=1$，所以$\epsilon$是单位。

3.5 习题5

答：证明$b$是平凡因子，有且仅有一个$a_i$。

• 1）若$a_i$都为单位，则$b$也为单位，矛盾；

• 2）若存在$a_1,a_2$,为$b$的相伴元，又因为$b\ne 0,b=a_1{a}_2\cdots a_r,a_1\ne 0,a_2\ne 0,a_3\cdots a_r\ne 0$，所以$g(b)>g(a_1{a}_2)$；因为$a_1,a_2$为$b$的相伴元，所以$g(b)=g(a_1)=g(a_2)$，又因为$g(a_1{a}_2)>g(a_1)$，所以$g(a_1{a}_2)>g(a_1)=g(b)>g(a_1{a}_2)$，矛盾。

  综上，仅存在一个$a_i$为$b$的相伴元。

3.6 习题6

答：

• 1）若$g(a)$为素数，则$a$为素元；因为$g(1+i)=2,g(2+i)=5,g(3+2i)=13$,所以$1+i,2+i,3+2i$均为素元；因为$g(3)=1\times 9=3\times 3=9$,而不存在$a$使得$g(a)=3$，所以$3$为素元，同理7为素元。
• 2）$5=(2+i)(2-i),13=(3+2i)(3-2i),17=(4+i)(4-i)$,且分解的因子均不是单位，所以$5,13,17$不是素元。

3.7 习题7

答：因为$p^{e_p(d)}|d,d|a,d|b$,所以$p^{e_p(d)}|a,p^{e_p(d)}|b$，即有$e_p(d)\le e_p(a),e_p(d)\le e_p(b)$.令$k=min\{e_p(a),e_p(b)\}$,则$e_p(d)\le k$，又因为$p^k|a,p^k|b$,所以$p^k|gcd(a,b)=d,k\le e_p(d)$，所以$k=e_p(d)=min\{e_p(a),e_p(b)\}$。

3.8 习题8

答：与第6题差不多

• $8=2^3=(1+i{)}^3(1-i{)}^3$
• $8+4i=2^2(2+i)=(1+i{)}^2(1-i{)}^2(2+i)$
• $10=2\cdot 5=(1+i)(1-i)(2+i)(2-i)$
• $12=3\cdot 4=(1+i{)}^2(1-i{)}^2\cdot 3$
• $45+3i=3(15+i)=3(1+i)(8-7i)$
• $60=2^2\cdot 3\cdot 5=3(1+i{)}^2(1-i{)}^2(2+i)(2-i)$

3.9 习题9

答：与第一题类似。

• 1）单位为1。
• 2）$x^2+1=(x+1)(x+1),x^2+x=x(x+1),x^2+x+1$不可约。

3.10 习题10

答：与引理3.4类似，可以用数学归纳法。当$n=1$时，结论成立；假设$n=k(k\ge 1)$时，结论成立，当$n=k+1$时，$p|a_1{a}_2\cdots a_{k+1}$，若$p|a_1$则结论成立，否则 $p|a_2\cdots a_{k+1}$，由归纳假设 $p|a_i$，所以结论成立。

3.11 习题11

答：

• 1）定义$g$：对任意的$a+b\sqrt{-3}\in D,g(a+b\sqrt{-3})=a^2+3b^2$，则$g[(a+b\sqrt{-3})(c+d\sqrt{-3})]=g(a+b\sqrt{-3})g(c+d\sqrt{-3})$，因为$g(2)=4=1\times 4=2\times 2$，且不存在$x\in D$,使得$g(x)=2$，所以$2$是素元，同理可证$1+\sqrt{-3}$和$1-\sqrt{-3}$也是素元，所以$4$有两个非平凡分解。
• 2）假设$D$是欧式环，则D上有唯一分解定理，但是$4=2\cdot 2=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})$,且2不是$1+\sqrt{-3}$和$1-\sqrt{-3}$的相伴元，矛盾。所以，$D$不是欧式环。