回溯法educoder

回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。

用回溯算法解决问题的一般步骤：

1、 针对所给问题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。

2 、确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间 。

3 、以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

 典型例题：

第1关：排列

任务描述

1.设计算法从前m个大写字母(m≤26)种取出n个字母的所有排列（组合），并编程实现

输入格式

输入M N 1<=M=26, N<=M

输出格式

按字典序输出排列 注意：行末不输出多余空格

Sample Input

4 2

Sample Output

A B A C A D B A B C B D C A C B C D D A D B D C

解题思路：

开一个大小26的数组，下标0-25分别代表大写字母A-Z，标记数组vis用来记录当前下标是否被访问过，因为题目要字典序输出，因此for循环要从0开始，每次递归进去找那个没有被访问过的下标（字母）直到满足个数等于n。

#include 

int m,n;
bool vis[26];
int a[26];
void dfs(int i)
{
	if(i==n)
	{
		for(int i=0;i

---

 第2关：子集合

任务描述

设集合S={x1,x2,…,xn}是一个正整数集合，c是一个正整数，子集和问题判定是否存在S的一个子集S1，使S1中的元素之和为c。试设计一个解子集和问题的回溯法

输入格式

输入数据第1行有2个正整数n和c，n表示S的大小，c是子集和的目标值 接下来的1行中，有n个正整数，表示集合S中的元素 n<10,c<100

输出格式

输出所有满足条件的集合，当问题无解时，输出“No Solution!”。 注意：末尾不输出多余空格 按照输入顺序输出，比如第一个满足条件的子集合是[2 2 6]，那么就先输出它，子集合内的数也按照输入顺序输出

Sample Input

5 10

2 2 6 5 4

Sample Output

2 2 6 6 4

解题思路：

for循环每次要从最后一个访问过的下标开始搜索，不然会出现4 6和6 4这种重复情况，因此要用last来记录，简而言之：你每次搜就从当前数往后搜，不用每次从头再来避免重复。

#include 
#define MAX 100 

int n,c;
int a[MAX],b[MAX];//a为输入数组，b用以暂存可行解
bool vis[MAX],flag=false;//vis为标记数组，flag用以判断是否有解
void dfs(int i,int last,int sum)//i为元素个数，last为最后访问的有效下标，sum为子集元素和
{
	if(sum==c)
	{
		flag=true;//有解
		for(int j=0;jn||last>n)
		return;
	else if(sum>c)//剪枝
		return;
	else
	{
		for(int j=last;j0&&a[j]==a[j-1]&&!vis[j-1])//剪枝，形如22654，第一轮搜过2打头的数据，下一次还是同样的2就跳过
				continue;
			if(!vis[j])
			{
				vis[j]=true;
				b[i]=a[j];
				dfs(i+1,j,sum+a[j]);
				vis[j]=false; 
			}
			
		}
	}
}
int main() {
    scanf("%d %d",&n,&c);
    for(int i=0;i

---

 第3关：TSP问题

任务描述

输入格式

第一行输入n，代表有n个城市。 接下来n行每行输入n个数，第i行j列的值代表i市到j市的距离，0代表城市之间不通 注意：起点和终点都为1 n<7,城市之间的距离都不超过100

输出格式

第一行输出最少的旅行费用 第二行输入旅行路径 （保证只有一条最短旅行路径）

Sample Input

4

0 30 6 4

30 0 5 10

6 5 0 20

4 10 20 0

Sample Output

25

1 3 2 4 1

 解题思路：

排列树解空间，交换时只能从当前往后交换，前面已经选定了，交换完还必须交换回来，才能保证排列结果的正确，注意观察节点间距离的表示。

#include 
#define MAX 100 
int n;
int b[8]={1,2,3,4,5,6,7};//题目最多不超过7个节点
int a[MAX][MAX],x[8];//a存距离代价，x存当前mindis下的最优路径
int mindis=1000;//记录距离最小值
void swap(int &a,int &b)
{
	int t=a;
	a=b;
	b=t;
}
void dfs(int i,int dis)//i用以记录节点，dis用以记录到当前节点距离和
{
	if(dis>=mindis)/剪枝
		return;
	else if(i==n)//排列保证节点不重复，因此节点到n个可比较记录结果
	{
		if(dis+a[b[i-1]][1]

---

第4关：n皇后问题

任务描述

在N*N的方格棋盘放置了N个皇后，使得它们不相互攻击（即任意2个皇后不允许处在同一排，同一列，也不允许处在与棋盘边框成45角的斜线上。 你的任务是，对于给定的N，求出有多少种合法的放置方法。

输入格式

共有若干行，每行一个正整数N≤10，表示棋盘和皇后的数量；如果N=0，表示结束。

输出格式

共有若干行，每行一个正整数，表示对应输入行的皇后的不同放置数量。

Sample Input

1 8 5 0

Sample Output

1 92 10

解题思路：

n皇后不能同行同列，优化后是排列树解空间，需要事先给定一个数组a通过交换实现全排列，然后判断是否同斜线。

#include 
#include 
#define MAX 100 
int n;
int a[MAX]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
int sum;
void swap(int &a,int &b)
{
	int t=a;
	a=b;
	b=t;
}
bool check(int i)//判断当前节点到之前的每一个节点是否同斜线
{
	for(int j=1;jn)
	{
		sum++;
		return;
	}
	else
	{
		for(int j=i;j<=n;j++)//排列树解空间，只用判断是否同斜线
		{
			swap(a[i],a[j]);
			if(check(i))
				dfs(i+1);
			swap(a[i],a[j]);
		}
	}
}
int main() {
    
    scanf("%d",&n);
    while(n!=0)
    {
    	sum=0;
    	dfs(1);
    	printf("%d\n",sum);
    	scanf("%d",&n);
	}
	return 0;
}

---

第5关：0-1背包

任务描述

输入格式

第一行输入n，c，分别代表物品的数量和背包的容量 第二行输入n个数 分别代表每个物品的重量 第三行输入n个数，分别代表每个物品的价值 1

输出格式

输出一个数，代表能装入的最大价值

Sample Input

4 7 3 5 2 1 9 10 7 4

Sample Output

20

解题思路：

不剪枝代码会简单很多，但是复杂度会高很多，普通背包做法参考贪心的背包问题，主要不让用C++得sort函数，得自己手写一个。思路很简单，每一次放或不放进去，都要判断继续往后走有没有可能超过最大值，因为普通背包可以拆分物品，因此同样的n,c，普通背包的最大价值一定大于等于01背包。

#include 
#define MAX 100 
int n,c;
int w[MAX],v[MAX];//w存重量，v存价值
double vperw[MAX];//vperw存单位价值
int x[MAX],p[MAX];//x记录当前解的情况，p记录最优解
int maxVal=0;//价值和最大
void swap(double &a,double &b)
{
	double t=a;
	a=b;
	b=t;
}
void sort(int l,int r)//对价值密度快排，为背包问题做准备
{
	if(l=t&&i=j)
				break; 
			swap(vperw[j],vperw[i]);
		}
		swap(vperw[j],vperw[l]);
		sort(i,j-1);
		sort(j+1,r);
	}
}
bool check(int i,int cw,int cv)
{
	int k=0;
	if(cw>c)//重量超标，剪枝
		return false;
	else//做背包问题，预测当前解往后走是否有可能超过最大的价值
	{
		int cleft=c-cw;//剩余的重量
		for(int j=i;jw[j])
		{
			cleft-=w[j];
			cv+=v[j];
			j--;
		}
		cv+=vperw[j]*cleft;//价值和
		if(cv>maxVal)
			return true;
		else
			return false;
	}
	return true;
}
void dfs(int i,int cw,int cv)
{
	if(i==n)
	{
		if(cv>maxVal)
		{
			maxVal=cv;
			for(int i=0;i=0;j--)
		{
			x[i]=j;
			if(check(i+1,cw+w[i]*j,cv+v[i]*j))
				dfs(i+1,cw+w[i]*j,cv+v[i]*j);
		}
	}
}
int main() {
    
    scanf("%d %d",&n,&c);
    for(int i=0;i

---

回溯法拓展1：n位逐位整除数

任务描述

本关任务：掌握回溯法算法思想，并能利用回溯法算法思想解决n位逐位整除数问题。

n位逐位整除数（简称整除数）：从其高位开始，高1位能被整数1整除（显然），高2位能被整数2整除，…，整个n位能被整数n整除。给定整数n，求所有的n位整除数的个数。

例如，整数102450就是一个6位整除数。

测试输入：

6

预期输出：

1200

解题思路：

每位数可能是09的十个数字，选定后 check一下是否可行，做大整数除法时，可以通过取余的方式一般不往下做，更新时不要动a数组，因为指针a改变后，数据会不正确。

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
bool check(int t,int *a)//检查当前数加进去后，整数能否整除，t记录当前位数，a数组记录大整数
{
	if(t==1&&a[0]==0)//第一位不为0
		return false;
	int r,j;
	for(r=0,j=0;j=n)
    {
    	sum++;
    	return;
	}
	else
	{
		for(int j=0;j<=9;j++)
		{
			a[t]=j;
			if(check(t+1,a))
				backtrack(a,t+1,n,sum);
		}
	
	}
    /********* End *********/
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    
    int a[101];
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    int sum = 0;
    backtrack(a, 0, n, sum);

    printf("%d\n", sum);
    
    return 0;
}