力扣 62 不同路径【动态规划五步法】

力扣 62 不同路径【动态规划五步法】

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原题目

题目地址：62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

考查知识点

动态规划、dp数组的理解

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好的解法

说实话，这道题第一眼直觉是用回溯做，因为剑指 12 矩阵中的路径就是相似的题目环境。但是用【代码随想录】大佬的动态规划五步法做这道题简直太棒了。在没有看题解之前，根本就不能想到这题还能用动规做，还是理解不深呀。还是一句话，只要跟下一步状态跟当前状态有关的就要往动态规划上靠。

参考：

https://mp.weixin.qq.com/s/MGgGIt4QCpFMROE9X9he_A

动态规划的dp数组并不是只局限于一维，像这道题目中的dp数组就是二维形式。

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp数组表示的含义一般就是题目要求的答案。dp[i][j]表示从（0,0）到（i,j）有多少路径。

2、确定递推公式

题目说，机器人只能往下、往右走，那么在（i，j）的机器人只能从（i-1,j）、（i，j-1）这两个方向过来。

也就是dp[i][j] = dp[i-1][j] +dp[i][j-1]

3、dp数组如何初始化

dp数组是一维时，只需要初始化dp[0]，最多再加一个dp[1]；那么dp数组是二维时，二维数组的边缘就是两条边了，即dp[i][0]=1、dp[0][j]=1。二维数组的两条边全置1的原因是机器人只能向下、向右走，要是想要到达两条边上，就得从(0,0)一直直着走。

4、确定遍历顺序

从左向右，从上到下，逐渐把dp数组每个数都算出来

5、举例推导dp数组

比如m=4, n=3

1  1  1
1  2  3
1  3  6
1  4  10

class Solution {
     
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
     
        if (m <= 1) return m;
        if (n <= 1) return n;

        vector<vector<int>> dp;
        dp.resize(m, vector<int> (n));

        //dp数组初始化
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
     
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
     
            dp[0][j] = 1;
        }
        //递推
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
     
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
     
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }

        return dp[m-1][n-1];
    }
};

int main() {
     
    Solution so;
    cout << so.uniquePaths(3, 7);
}