数据结构与算法--堆和堆排序

堆排序是一种原地的、时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法。

如何理解“堆”？

堆是一种特殊的树。
只要满足这两点，它就是一个堆：

堆是一个完全二叉树；
堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。
（即：每一个节点的值都大于其左右子树的每个节点的指）

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“小顶堆”。

如何实现一个堆？

完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。下标可以直接计算出左右字数的下标。（数组中下标为 i 的节点，左子节点下标为 i∗2 ，右子节点下标为 i∗2+1，父节点的下标为 i/2 。）

1. 往堆中插入一个元素（大顶堆示例）

如果我们把新插入的元素放到堆的最后，你可以看我画的这个图，是不是不符合堆的特性了？于是，我们就需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程我们起了一个名字，就叫做堆化（heapify）。
堆化实际上有两种，从下往上和从上往下。这里我先讲从下往上的堆化方法。
堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。

大顶堆的堆化.png

2. 删除堆顶元素（大顶堆示例）

我们把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。

删除堆顶元素.png

一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log2n。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 O(logn)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。

如何基于堆实现排序？

这里我们借助于堆这种数据结构实现的排序算法，就叫做堆排序。这种排序方法的时间复杂度非常稳定，是 O(nlogn)，并且它还是原地排序算法。

1. 建堆

从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。
因为叶子节点往下堆化只能自己跟自己比较，所以我们直接从最后一个非叶子节点开始，依次堆化就行了。

private static void buildHeap(int[] a, int n) {
    for (int i = n/2; i >= 1; --i) {
        heapify(a, n, i);
    }
}

private static void heapify(int[] a, int n, int i) {
    while (true) {
        int maxPos = i;
        if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
        if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
        if (maxPos == i) break;
        swap(a, i, maxPos);
        i = maxPos;
    }
}

建堆的时间复杂度就是 O(n)。推导过程见极客时间--数据结构与算法之美

2. 排序

建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为 n 的位置。
这个过程有点类似上面讲的“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为 n 的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是 n−1 的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素，排序工作就完成了。

堆排序.png

// n表示数据的个数，数组a中的数据从下标1到n的位置。
public static void sort(int[] a, int n) {
  buildHeap(a, n);
  int k = n;
  while (k > 1) {
    swap(a, 1, k);
    --k;
    heapify(a, k, 1);
  }
}

整个堆排序的过程，都只需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是 O(n)，排序过程的时间复杂度是 O(nlogn)，所以，堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。
堆排序不是稳定的排序算法，因为在排序的过程，存在将堆的最后一个节点跟堆顶节点互换的操作，所以就有可能改变值相同数据的原始相对顺序。

堆排序的应用

堆这种数据结构几个非常重要的应用：优先级队列、求 Top K 和求中位数。

堆的应用一：优先级队列

1. 合并有序小文件

假设我们有 100 个小文件，每个文件的大小是 100MB，每个文件中存储的都是有序的字符串。我们希望将这些 100 个小文件合并成一个有序的大文件。这里就会用到优先级队列。
这里就可以用到优先级队列，也可以说是堆。我们将从小文件中取出来的字符串放入到小顶堆中，那堆顶的元素，也就是优先级队列队首的元素，就是最小的字符串。我们将这个字符串放入到大文件中，并将其从堆中删除。然后再从小文件中取出下一个字符串，放入到堆中。循环这个过程，就可以将 100 个小文件中的数据依次放入到大文件中。

2. 高性能定时器

我们可以用优先级队列来解决。我们按照任务设定的执行时间，将这些任务存储在优先级队列中，队列首部（也就是小顶堆的堆顶）存储的是最先执行的任务。

堆的应用二：利用堆求 Top K

如何在一个包含 n 个数据的数组中，查找前 K 大数据呢？我们可以维护一个大小为 K 的小顶堆，顺序遍历数组，从数组中取出数据与堆顶元素比较。如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到堆中；如果比堆顶元素小，则不做处理，继续遍历数组。这样等数组中的数据都遍历完之后，堆中的数据就是前 K 大数据了。

堆的应用三：利用堆求中位数

中位数，顾名思义，就是处在中间位置的那个数。
使用两个堆：一个大顶堆，一个小顶堆。小顶堆中的数据都大于大顶堆中的数据。
如果新加入的数据小于等于大顶堆的堆顶元素，我们就将这个新数据插入到大顶堆；否则，我们就将这个新数据插入到小顶堆。
也就是说，如果有 n 个数据，n 是偶数，我们从小到大排序，那前 2n 个数据存储在大顶堆中，后 2n 个数据存储在小顶堆中。这样，大顶堆中的堆顶元素就是我们要找的中位数。如果 n 是奇数，情况是类似的，大顶堆就存储 2n+1 个数据，小顶堆中就存储 2n 个数据。

极客时间--数据结构与算法之美--28 | 堆和堆排序：为什么说堆排序没有快速排序快？