Java数据结构与算法11——B树

1.B树是什么

B树（即是B-tree，B是Balanced，平衡的意思），是一种平衡的多路搜索树，主要用于磁盘等外部存储的一种数据结构，例如用于文件索引。

2.回忆磁盘存取数据的知识

1.磁盘存取数据的基本过程
（1）根据柱面号使磁头移动到所需要的柱面上，这一过程被称为定位或查找。
（2）根据盘面号来确定指定盘面上的磁道
（3）盘面确定以后，盘片开始旋转，将指定块号的磁道段移动至磁头下

2.磁盘读取数据是以块(block)为基本单位的，因此应尽量将相关信息存放在同一盘块，同一磁道中，以便在读/写信息时尽量减少磁头来回移动的次数，避免过多的查找时间。

3.在大量数据存储在外存磁盘中，如何高效地查找磁盘中的数据，就需要一种合理高效的数据结构了

3.B树的特性

对于一颗m阶（阶指的是子节点的最大值）的B树，有如下特性：

• 1.根结点要么是叶子，要么至少有两个儿子
• 2.每个结点最多含有m个孩子（m>=2）
• 3.除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子
• 4.所有的叶子结点都出现在同一层上
• 5.有s个儿子的非叶结点具有 n =s －1 个关键字，即:s= n+ 1
• 6.每个非叶子节点中包含有n个关键字信息： (n，C0，K1，C1，K2，C2，......，Kn，Cn)。其中：
  （1） Ki (i=1...n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki
  （2） Ci为指向子树根的接点，且指针C(i-1)指向子树种所有结点的关键
  字均小于Ki，但都大于K(i-1)
  （3）关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1

4.B树的高度

B树的高度就是B树不包含叶节点的层数。由于磁盘存取时的I/O次数，与B树的高度成正比，高度越小，那么I/O次数也就越小，因此理解如何计算B树的高度是很有必要的。设若B树总共包含N个关键字，则此树的叶子节点可以有N+1个，而所有的叶子结点都在第K层，可以得出：

• 1.因为根至少有两个孩子，因此第2层至少有两个结点
• 2.除根和叶子外，其它结点至少有ceil(m/2)个孩子
• 3.因此在第3层至少有2* ceil(m/2)个结点
• 4.在第4层至少有2*(ceil(m/2)^2)个结点
• 5.在第K层至少有2*(ceil(m/2)^(K-2))个结点，于是有：N+1≥2 * (ceil(m/2)^(K-2)) ，这就可以算出：K≤ log(ceil(m/2)((N+1)/2 )+2
• 6.由于计算B树高度是不包含叶节点的层数，所以： B树的高度≤ log(ceil(m/2)((N+1)/2 )+1

5.B树的搜索、添加、删除节点的算法，并代码示例

5.1 搜索

跟2-3-4树的搜索一样，从根开始查找，判断要搜索的数据处于哪个区间，找到相应的子节点，判断是否匹配，否则重复这些动作。

5.2 插入

插入的时候，会有几种情况：

• 1.插入到未满的叶节点里面，直接插入数据即可，顶多会引起同一节点内数据项的移动，以保持数据项的顺序

• 2.插入到未满的子节点里面，子节点的编号就要发生变化，以此来保证树的结构

• 3.插入到已满的节点中，这就需要做节点分裂，算法如下：
  step1.创建一个空节点，放置到分裂节点的右边
  step2.将一半较大的数据项移动到新节点，中间数据项移动到父节点，一半较小的数据项不动
  step3.重新设置一半较大的数据项和中间数据项的父子节点关系

• 4.插入到已满的根节点中，这就需要做根节点分裂，算法如下：
  step1.创建一个空节点，作为分裂节点的父节点
  step2.再创建一个空节点，作为分裂节点的兄弟节点
  step3.将一半较大的数据项移动到新的兄弟节点中，中间数据项移动到新的父节点，将一半较小的数据项不动
  step4.重新设置一半较大的数据项和中间数据项的父子节点关系

5.3 删除

1：若删除结点为非叶结点，且被删关键字为该结点中第i个关键字key[i]，则可从 C[i]所指的子树中找出最小关键字Y，代替key[i]的位置，然后在叶结点中删去 Y。这样一来，就把在非叶结点删除关键字k的问题就变成了删除叶子结点中的关键字的问题了。

2：要删除的关键字在叶子节点上的情况：先把这个关键字删除掉，然后再调整

3：调整情况：

• 1）如果被删关键字所在结点的原关键字个数n≥ceil(m/2)，说明删去该关键字后该结点仍满足B树的定义，直接删除，不做调整
• 2）如果被删关键字所在结点的关键字个数n=ceil(m/2)-1，说明删去该关键字后该结点将不满足B树的定义，需要调整，过程为：如果其左右兄弟结点中有“多余”的关键字，即与该结点相邻的右（左）兄弟结点中的关键字数目大于 ceil(m/2)。则可将右（左）兄弟结点中最小（大）关键字上移至父结点，而将父结点中小（大）于该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中
• 3）如果左右兄弟结点中没有“多余”的关键字，需把要删除关键字的结点与其左（或右）兄弟结点以及父结点中分割二者的关键字合并成一个结点，即在删除关键字后，该结点中剩余的关键字，加上父结点中的关键字Ki一起，合并到Ci所指的兄弟结点中去。如果因此使父结点中关键字个数小于ceil(m/2)，则对此父结点做同样处理。以致于可能直到对根结点做这样的处理而使整个树减少一层。

6.了解B+树，B+树和B树的差异，B+树的优势

B+树是一种B树的变形树，在实现文件索引方面比B树更好。

6.1 B+树和B树的特性差异

1.有n棵子树的结点中含有n个关键码

2.所有的叶子结点中包含了全部关键码的信息，及指向含有这些关键码记录的指针，且叶子结点本身依关键码的大小自小而大的顺序链接

3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子结点中最大（或最小）关键码

4.叶结点中存放的是对实际数据对象的索引。

5.在B+树中有两个头指针：一个指向B+树的根结点，一个指向关键码最小的叶结点。因此可以对B+树进行两种查找运算：一种是从最小关键字起顺序查找，另一种是从根节点开始，进行随机查找。

6.2 B+树的优势

B+树比B 树更适合实际应用中的文件索引和数据库索引，主要在于：

1. B+树的磁盘读写代价更低
   B+树的非叶结点并没有指向关键字具体信息的指针，比B树更小。如果把所有同一非叶结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字更多，一次可读入内存中的关键字也就更多，从而降低了I/O读写次数

2. B+树的查询效率更加稳定
   由于非叶结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找都是一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

3. B+树支持基于范围的查询
   B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历，可以很容易的支持范围查询，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低），B+树比B树更适合做数据库的索引的数据结构。

参考

• 1）Java数据结构和算法精讲版