『数据结构与算法』散列表(哈希表)

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1. 什么是散列表

散列表(Hash Table)也叫哈希表,是根据给定关键字(Key)来计算出该关键字在表中存储地址的数据结构。也就是说,散列表建立了关键字与存储地址之间的一种直接映射关系,将关键字映射到表中记录的地址,这加快了查找速度。

使用函数表达式来表示,应为:hash(key)=v,其中key为关键字,hash()为散列函数,v为散列地址。

1.1 相关术语

  • 关键字(Key):关键字是散列表的查找对象,也是散列函数的参数。其可以是记录本身,也可以是记录的唯一索引,这取决于散列表的设计。
  • 散列函数(Hash Function):将关键字映射为散列表中适当存储地址的函数称为散列函数,也叫做哈希函数。
  • 散列地址(Hash Address):将关键字通过散列函数计算出的地址称为散列地址,也叫做散列值、哈希值。
  • 散列表(Hash Table):这种使用散列技术来存储数据记录的表称为散列表。
  • 散列冲突(Hash Collision):当不同的关键字具有相同的散列地址,这种现象称为冲突,也叫做哈希冲突。而这些关键字对该散列函数来说是同义词。
  • 表长:散列表的大小,即能够存储散列地址的数量。用m表示。

1.2 举个例子

一个比较通俗的例子,就是我们手机中的通讯录。通讯录用于存储联系人的姓名及电话号码信息,它是一个按照姓名首字母进行顺序排列的表。比如我们找“嬴政”就可以通过字母“Y”进行快速定位,并找到“嬴政”。

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散列表:通讯录
  • 在该例子中,姓名“嬴政”便是关键字
  • 取姓名的首字母的算法便是散列函数。即:hash(嬴政) = Y。
  • 通过
  • 当我们定位到“Y”地址后,不仅有“赢政”,还有“赢异人”,也就是说,通过关键字“赢异人”也能找到“Y”的地址,这种现象便是冲突。即:hash(嬴政) = hash(嬴异人) = Y。
  • 而“赢政”与“赢异人”对该散列函数来说是同义词
  • 这个用于存储联系人的通讯录便是散列表

1.3 小结

本章节介绍了散列表的概念及相关术语,并以一个通讯录的例子来加深对散列表的了解。但还有一些问题等待我们解决,那就是“散列冲突”。我们一方面可以通过精心设计散列函数来尽量减少冲突的次数,另一方面仍需要提供解决冲突的方法。后面章节会详细介绍散列函数的设计和解决冲突的方法。

2. 散列函数的设计

散列函数的设计原则应该遵循计算简单、散列地址分布均匀。下面我们介绍几种常用的散列函数的构造方法。

2.1 直接定址法

取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。即hash(key) = key 或 hash(key) = a * key + b,其中a、b 为常数。这种散列函数也叫做自身函数。

如下图中,我们要获取某个岗位级别的信息,就可以使用级别减去1来作为地址,即:hash(key) = key - 1

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直接定址法

直接定址法的优点是简单、均匀也不会产生冲突。但由于这是一种拿空间换时间的方式,所以适合查找表较小且连续的情况。比如年龄、岗位级别等。

2.2 数字分析法

通过分析一组数据,这些数据中可能出现的关键字都是事先知道的,则可以取关键字的若干数位组成散列地址。取出的这部分数据要在其数位上出现的频率小,这样出现冲突的几率就会很小。

比如手机号码,其前3位为网络识别号,中间4位为地区编码,而后4位才是真正的用户号码。那么在某个公司中,其员工的手机号码前7位出现冲突的概率会很大,而后4位出现冲突的概率会很小,则可以取后四位做为散列地址。

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数字分析法

2.3 平方取中法

取关键字平方后的中间几位作为散列地址。该方法是一个产生伪随机数的方法,由冯·诺伊曼在1946年提出。

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平方取中法

2.4 折叠法

将关键字分割成位数相同的几部分(最后一部分的位数可以不同),然后取这几部分的叠加和(舍去进位)作为散列地址。这种方法比较适用于关键字位数很多的情况。

比如关键字为 1234567890,散列表的表长为3位:
(1)将关键字分为4组: 123|456|789|0
(2)将它们叠加求和:123 + 456 + 789 + 0 = 1368
(3)舍去进位,得:368 ,即为最终散列地址

2.5 除留余数法

假定散列表的表长为m,取一个不大于m但最接近或等于m的质数p,通过关键字对p取模运算来转换为散列地址。散列函数为:hash(key) = key % p,其中p m。

不仅可以对关键字直接取模,也可以在折叠法、平方取中法等运算后取模。对p的选择很重要,若选择不好很容易产生冲突。

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除留余数法

3. 散列冲突的处理方法

解决冲突的方法有几种,这里我们将讨论其中最简单的两种:开放定址法和链地址法(拉链法)。

3.1 开放定址法

将产生冲突的散列地址做为自变量,通过某种冲突解决函数得到一个新的空闲散列地址。即当产生冲突后,寻找下一个空闲的散列地址。根据寻找的方式不同又分为几种方法,下面来介绍。

3.1.1 线性探测法

当产生冲突时, 顺序探测表中下一地址,直探测到一个空闲(自由)的地址,将记录插入。若一直探测到表尾地址m-1,则下一探测地址为表首地址0。当表满的时候,则探测失败。

比如下图散列表的散列函数使用除留余数法(m=10, p=10)。那么我们顺序插入12、13、24时顺利插入到对应地址中,再插入34、44时会产生冲突,使用线性探测法,继续探测下一地址,将插入到空闲地址上。

线性探测法

线性探测法会造成大量元素在相邻的散列地址上“聚集”起来,使得我们要不断处理冲突,这大大降低查找和存入效率。

3.1.2 平方探测法

平方探测法是消除线性探测法中的聚集问题的一种冲突解决方法。设发生冲突的地址为d,那么使用平方探测法得到的新的地址序列为d 1^2、d 、d ...d (key m/2)。

还是刚才那个例子,当插入34时,在下标为4的位置产生冲突,我们先计算一下在该位置探测的序列: 4 + = 5、4 - = 3、4 + = 8、4 - = 0,即:5、2、8、0,所以34应该被放到5的位置。而44应该放到8的位置。

平方探测法

平方探测法的缺点是不能探测到散列表上所有的地址,但至少能探测到一半地址。

3.1.3 伪随机探测法

伪随机探测法是当发生地址冲突时,地址增量为伪随机数序列。

伪随机数是说,如果我们设置随机种子相同,则不断调用随机函数可以生成不会重复的数列,我们在查找时,用同样的随机种子,它每次得到的数列是相同的,相同的地址当然可以得到相同的散列地址。

3.1.4 双散列

双散列顾名思义是使用了两个散列函数,当执行第一个散列函数得到的地址发生冲突时,则执行第二个散列函数来计算该关键字的地址增量

一种常见的算法是:(hash1(key) + i * hash2(key)) mod m,其中i为冲突次数,hash1()为第一个散列函数,hash2()为第二个散列函数,m为散列表大小。当发生冲突后,我们通过重复增加步长i来寻址。

还是以上面的例子为例。第一个散列函数为hash1(key) = key mod 10,第二个散列函数设为hash2(key) = key mod 3。

通过上面公式,可以计算出关键字34的散列地址: (34 mod 10 + 1 * (34 mod 3)) mod 10 = (4 + 1 * 1) mod 10 = 5。而关键字44的散列地址为:(44 mod 10 + 2 * (44 mod 3)) mod 10 = (4 + 2 * 2) mod 10 = 8

双散列

3.2 链地址法

链地址法又称拉链法,是利用链表来解决冲突的一种方法,即把具有相同散列地址的关键字记录存入到同一个单链表中,该链表称为同义词链表。每一个散列地址都有一个对应的链表。

还是上面的例子,使用链地址法的存储模型如下图所示。

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链地址法

4. 代码实现

我们使用链地址法来实现上例中散列表,其散列函数使用除留余数法

4.1 节点类

因为链表不是本篇重点,所以这里设计一个简单的节点类。关于链表的相关知识请参阅:《 链表(单链表、双链表、环形链表) 》

class Node {
    private final int key; // 关键字
    private Node next; // 下一节点

    public Node(int key) {
        this.key = key;
    }

    public int getKey() {
        return key;
    }

    public Node getNext() {
        return next;
    }

    public void setNext(Node next) {
        this.next = next;
    }
}

4.2 散列表类

散列表类使用数组存储表数据,其指向链表的头节点,其散列函数使用除留余数法。

本类主要实现了散列表的添加关键字、删除关键字和匹配关键字。

class HashTable {

    private final int size; // 散列表大小
    private final Node[] table; // 散列表

    private HashTable(int size) {
        this.size = size;
        this.table = new Node[size];
    }

    /**
         * 散列函数 - 除留余数法
         *
         * @param key
         * @return
         */
    private int hash(int key) {
        return key % size;
    }

    /**
         * 添加关键字
         *
         * @param key
         */
    public void add(int key) {
        int hashAddress = hash(key);
        if (table[hashAddress] == null) {
            table[hashAddress] = new Node(key);
            return;
        }
        add(table[hashAddress], key);
    }

    /**
         * 添加关键字 - 递归
         *
         * @param node
         * @param key
         */
    private void add(Node node, int key) {
        if (node.getNext() == null) {
            node.setNext(new Node(key));
            return;
        }
        add(node.getNext(), key);
    }

    /**
         * 匹配关键字
         *
         * @param key
         * @return
         */
    public boolean contains(int key) {
        int hashAddress = hash(key);
        Node headNode = table[hashAddress];
        if (headNode == null) {
            return false;
        }

        return contains(headNode, key);
    }

    /**
         * 匹配关键字 - 递归
         *
         * @param node
         * @param key
         * @return
         */
    private boolean contains(Node node, int key) {
        if (node == null) {
            return false;
        }
        if (node.getKey() == key) {
            return true;
        }
        return contains(node.getNext(), key);
    }

    /**
         * 移除关键字
         *
         * @param key
         */
    public void remove(int key) {
        int hashAddress = hash(key);
        Node headNode = table[hashAddress];
        if (headNode == null) {
            return;
        }
        if (headNode.getKey() == key) {
            table[hashAddress] = headNode.getNext();
            return;
        }
        remove(headNode, key);
    }

    /**
         * 移除关键字 - 递归
         *
         * @param node
         * @param key
         */
    private void remove(Node node, int key) {
        if (node.getNext() == null) {
            return;
        }
        if (node.getNext().getKey() == key) {
            node.setNext(node.getNext().getNext());
            return;
        }
        remove(node.getNext(), key);
    }

}

5. 完整代码

完整代码请访问我的Github,若对你有帮助,欢迎给个Star,谢谢!

https://github.com/gozhuyinglong/blog-demos/blob/main/java-data-structures/src/main/java/io/github/gozhuyinglong/datastructures/hashtable/HashTableDemo.java

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