概率统计2：概率

首先引入的一组概念：随机试验、DGP

公理1：任何一个经济系统都可以看成受到概率法则支配的随机试验（random experiment）。

公理2：任一经济现象都是随机试验的一个实现（realization）。这个随机试验，叫做数据生成过程（DGP）。

随机试验，是指一种至少可能出现两种结果的观察过程（process of observation）。类似于经济学的不确定性的概念。集合论中引入了vector space中的投影和正交基的概念。如果Ai构成了样本空间的一个划分，那么. A是任意一个向量，A可分解到各个基。其中可以视为A在Ai方向的投影。

概率的两种解释。1，relative frequency。在重复试验多次后事件发生的频次。这种方法依赖于iid的假定。天气预报30%的概率会下雨。这里的30%是指，在同等气象条件下，历史中有30%的天数下雨了。在经济学研究中，可以尝试用历史上的相对频率来预测股票市场的变动。但是，股票市场相较于天气系统更加复杂。股票市场的条件是不可重复的，因此iid假设不满足。2，subjective probability。主观概率方法。

图示：用主观概率进行衍生品定价

条件概率：如果已知event B已经发生，那么对于event A发生的推断会有何影响？用条件概率来度量事件A和B的关联性。可从韦恩图直观地理解条件概率的含义。条件概率表示了A和B的预测关系。但并不一定表示因果关系。因果关系的判断依赖于概率统计外的经济理论。

联合概率公式：. 在MLE计算n个event同时发生的概率，即联合概率时，十分有用。

全概率公式：

proof:

①将event A投影到A1，A2，A3  等正交基，

②应用概率，

③应用条件概率，       QED.

贝叶斯定理

例题1：保险公司根据罚单信息给客户分类

例题2：股票分析师的价值

案例：法航飞机在百慕大三角失事。根据贝叶斯法则更新搜寻区域。自动驾驶技术，传感器通过人类的数据学习路况。

由于经济系统时不可逆的，贝叶斯就很有用，根据结果推断原因。根据new information，可以推断以前是什么样的。比如根据罚单推断风险type，根据教育信息推断ability。贝叶斯技术在经济分析，大数据分析，机器学习和人工智能方面发挥着巨大的作用。

独立性，此时，两者之间不存在任何的预测关系。